Question

如圖，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O(shè)為原點(diǎn)，OC，OA所在直線為軸建立坐標(biāo)系．拋物線頂點(diǎn)為A，且經(jīng)過點(diǎn)C．點(diǎn)P在線段AO上由A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線    段OC上由C向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，QD⊥OC交 直線BC于點(diǎn)D，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P、Q分別以每秒2個(gè)單位和3個(gè)單位的速度同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，
①連結(jié)PQ，△OPQ能否成為等腰直角三角形？若能，請(qǐng)求出t的值；若不能，請(qǐng)說明理由；
②當(dāng)t為何值時(shí)，△PAB與△ODQ相似？
③△PDC的面積S是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出S的最大值，并說出此時(shí)點(diǎn)P，Q的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）直接設(shè)拋物線為y=a（x-0）²+2，再將C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出即可；
（2）①假設(shè)能，則OP=OQ，即：2-2t=3-3t，求出t的值，此時(shí)，點(diǎn)P、Q、O重合，得出答案即可；
②要使△PAB與△ODQ相似，已有條件：∠PAB=∠OQD=90°，只需夾邊成比例即：

AP

AB

=

QO

QD

或

AP

AB

=

QD

QO

，求出t的值即可；
③首先求出直線BC，PC的解析式，進(jìn)而得出DD′的長(zhǎng)，表示出S與t的函數(shù)解析式，在0≤t≤1時(shí)上升，則當(dāng)t=1時(shí)S最大為

9

2

，即可得出答案．

解答：解：（1）依題意設(shè)拋物線為y=a（x-0）²+2，
把C（3，0）代入得a=-

2

9

，
∴y=-

2

9

x²+2；

（2）①不能．假設(shè)能，則OP=OQ，即：2-2t=3-3t，
解得：t=1，此時(shí)，點(diǎn)P、Q、O重合；
②要使△PAB與△ODQ相似，已有條件：∠PAB=∠OQD=90°，只需夾邊成比例
即：

AP

AB

=

QO

QD

或

AP

AB

=

QD

QO

，
即

2t

1

=

3-3t

3t

或

2t

1

=

3t

3-3t

 （可求∠BCO=45°，因此QD=QC=3t），
解得t₁=-1（舍），t₂=

1

2

，t₃=0（舍），t₄=

1

2

，
綜上，當(dāng)t=

1

2

時(shí)，兩個(gè)三角形相似；

③連結(jié)PD、PC、DC，PC交DQ于D′，
∵B（1，2），C（3，0），
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+e，
∴

k+b=2 3k+b=0

，
解得：

k=-1 b=3

∴直線BC的解析式為：y=-x+3，
∴D（3-3t，3t）
∵P（0，2-2t），C（3，0），
設(shè)直線PC的解析式為：y=gx+f，

f=2-2t 3g+f=0

，
解得：

f=2-2t g= 2t-2 3

∴直線PC的解析式為：y=

2t-2

3

x+2-2t，
∴D′（3-3t，-2t²+2t）
∴DD′=3t-（-2t²+2t）=2t²+t
∴S=

1

2

（2t²+t）×3=3t²+

3

2

t，
∵對(duì)稱軸為直線t=-

1

4

，開口向上，
∴在0≤t≤1時(shí)上升
∴當(dāng)t=1時(shí)S最大為

9

2

，
此時(shí)P、Q與O重合．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)以及一次函數(shù)解析式等知識(shí)，表示出S與t的函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．