Question

12．如圖，在菱形ABCD中，把∠A、∠C分別翻折，使點(diǎn)A、C分別落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)H、G處，折痕分別是DF、BE．
（1）求證：△ADF≌△CBE；
（2）如圖2，連接GF、EH，求證四邊形EHFG是平行四邊形；
（3）如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上連接EF，交BD于點(diǎn)O，將∠A=120°，AD=4，求證∠FOB=45°，求線段EF的長．

Answer 1

分析 （1）先由菱形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得到全等三角形的條件；
（2）由折疊和菱形的對(duì)稱性得出EG=FH，再判斷出FH∥EG即可；
（3）過點(diǎn)F作FM⊥BD，設(shè)出HM，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)表示出FM，F(xiàn)H，F(xiàn)B，OB，判斷出FM=OM即可．

解答 解：（1）∵BD是菱形ABCD對(duì)角線，
∴∠ADB=∠CBD，AD=BC，∠A=∠C
由折疊知，∠ADF=$\frac{1}{2}$∠ABD，∠CBE=$\frac{1}{2}$∠CBE，
∴∠ADF=∠CBE，
在△ADF和△CBE中$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠CBE}\\{AD=BC}\\{∠A=∠C}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CBE，
（2）由折疊得，AF=FH=CE=EG，∠FHD=∠A=∠C=∠EGB，
∴FH∥EG，
∴四邊形EHFG是平行四邊形；
（3）①如圖3，設(shè)HM=a，
由折疊知，∠FHD=120°，
∴∠FHM=60°，
∴∠HFM=30°，
∴FM=$\sqrt{3}$a，F(xiàn)H=2a，
∵∠FMB=90°，
∴BM=3a
∵∠ABD=30°，∠FHB=60°，
∴∠BFH=90°，
∴BF=2$\sqrt{3}$a，
∴AB=AF+BF=FH+BF=2（$\sqrt{3}$+1）a，
∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴OB=（3+$\sqrt{3}$）a，
∴OM=OB-BM=$\sqrt{3}$a，
∴FM=OM，
∵∠FMO=90°，
∴∠FOB=45°，
②∵∠FMO=90°，∠FOB=45°，
∴OF=$\sqrt{2}$OM=$\sqrt{6}$a，
∵AD=4，
∴2（$\sqrt{3}$+1）a=4，
∴a=$\frac{3}{\sqrt{3}+1}$
∴EF=2OF=2$\sqrt{6}$×$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=6$\sqrt{2}$-2$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是判斷出四邊形EHFG是平行四邊形，作出輔助線，用代數(shù)的方法得出FM=OM是解本題的難點(diǎn)．