Question

20．如圖，Rt△AOB中，OA⊥OB，⊙O與AB相切于點(diǎn)E，AO、BO的延長(zhǎng)線交⊙O于C、D．若⊙O的半徑為1，求四邊形ABCD的面積最小值．

Answer 1

分析 由切線的性質(zhì)得出OE⊥AB，由三角形的面積得出OA•OB=AB•OE=AB•1=AB，得出OA+OB=$\sqrt{A{B}^{2}+2AB}$，得出四邊形ABCD的面積=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$（1+$\sqrt{A{B}^{2}+2AB}$+AB），得出斜邊AB最小時(shí)，面積最小，取斜邊AB的中點(diǎn)F，連接OF，OF最小時(shí)，AB最小，得出F與E重合時(shí)，AB最小，此時(shí)AB=2，△AOB為等腰直角三角形，得出△AOE和△BOE為等腰直角三角形，因此OA=OB=$\sqrt{2}$OE=$\sqrt{2}$，即可得出四邊形ABCD的面積最小值．

解答 解：∵⊙O與AB相切于點(diǎn)E，
∴OE⊥AB，
∵OA⊥OB，
∴OA•OB=AB•OE=AB•1=AB，
∴OA+OB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}+2OA•OB}$=$\sqrt{A{B}^{2}+2AB}$，
∴四邊形ABCD的面積=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$（1+OA）（1+OB）=$\frac{1}{2}$（1+OA+OB+OA•OB）=$\frac{1}{2}$（1+$\sqrt{A{B}^{2}+2AB}$+AB），
∵AB²+2AB，當(dāng)AB＞0時(shí)，隨AB的增大而增大，
∴斜邊AB最小時(shí)，面積最小，
取斜邊AB的中點(diǎn)F，連接OF，如圖所示：
則OF最小時(shí)，AB最小，
故F與E重合時(shí)，AB最小，
此時(shí)AB=2，△AOB為等腰直角三角形，
∴△AOE和△BOE為等腰直角三角形，
∴OA=OB=$\sqrt{2}$OE=$\sqrt{2}$，
∴四邊形ABCD的面積最小值=$\frac{1}{2}$（1+$\sqrt{2}$）²=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)、完全平方公式、三角形和四邊形面積的計(jì)算、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題有一定難度，證出AB最小時(shí)，四邊形ABCD的面積最小是解決問題的關(guān)鍵．