Question

9．如圖，拋物線C₁：y=x²+2x-3的頂點(diǎn)為P，將該拋物線繞點(diǎn)A（a，0）（a＞0）旋轉(zhuǎn)180°后得到的拋物線C₂，拋物線C₂的頂點(diǎn)為Q，與x軸的交點(diǎn)是B、C，點(diǎn)B在點(diǎn)C的右側(cè)．若∠PQB=90°，則a=7．

Answer 1

分析 先求出拋物線C₁的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)及與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出拋物線C₂的頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)和B點(diǎn)坐標(biāo)，由于∠PQB=90°，然后根據(jù)勾股定理列方程求解．

解答 解：如圖所示，
∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴P（-1，-4），
∴PD=2$\sqrt{5}$，
令y=0，則x²+2x-3=0，解得：x=-3或x=1，
∴D（-3，0），
∵A（a，0），
∴AD=a+3，AB=a+3，
∵△APD≌△AQB，
∴∠AQB=∠APD=90°，BQ=PD=2$\sqrt{5}$，
∴AP²=AD²-PD²=a²+6a-11=AQ²，
在Rt△ABQ中，AQ²=AB²-BQ²，
∴4+（1+a）²=（a+3）²-（2$\sqrt{5}$）²，
解得：a=7，
故答案為：7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，難度較大，求出旋轉(zhuǎn)后的拋物線C₂的頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．