Question

4．若一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線的乘積等于其邊長(zhǎng)的平方，則這兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度之比為2-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半可知菱形的面積等于邊長(zhǎng)平方的2倍，從而求菱形的邊長(zhǎng)等于高的2倍，再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得最小內(nèi)角為30°，進(jìn)而得出答案．

解答 解：∵菱形的對(duì)角線的乘積等于其邊長(zhǎng)的平方，
∴AC•BD=AB²，
如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，
設(shè)菱形的面積為S，則S=$\frac{1}{2}$AC•BD=AB•DE，
∴$\frac{1}{2}$AB²=AB•DE，
∴AB=2DE，
∵菱形的邊長(zhǎng)AB=AD，
∴AD=2DE，
∴∠BAD=30°，
故tan∠DAO=tan15°=tan（45°-30°）=$\frac{tan45°-tan30°}{1+tan45°•tan30°}$=$\frac{DO}{AO}$=2-$\sqrt{3}$．
則這兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度之比為：2-$\sqrt{3}$．
故答案為：2-$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)，主要利用了菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半和底邊乘以高，作出圖形更形象直觀．