Question

20．如圖，已知BC是半圓O的直徑，BC=8，過(guò)線段BO上一動(dòng)點(diǎn)D，作AD⊥BC交半圓O于點(diǎn)A，聯(lián)結(jié)AO，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AO，垂足為點(diǎn)H，BH的延長(zhǎng)線交半圓O于點(diǎn)F．
（1）求證：AH=BD；
（2）設(shè)BD=x，BE•BF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如圖2，若聯(lián)結(jié)FA并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，當(dāng)△FAE與△FBG相似時(shí)，求BD的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）由AD⊥BC，BH⊥AO，利用垂直的定義得到一對(duì)直角相等，再由一對(duì)公共角，且半徑相等，利用AAS得到三角形ADO與三角形BHO全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到OH=OD，利用等式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可得證；
（2）連接AB，AF，如圖1所示，利用HL得到直角三角形ADB與直角三角形BHA全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到一對(duì)角相等，再由公共角相等得到三角形ABE與三角形AFB相似，由相似得比例即可確定出y與x的函數(shù)解析式；
（3）連接OF，如圖2所示，利用兩對(duì)角相等的三角形相似得到三角形AFO與三角形FOG相似，由相似得比例求出BD的長(zhǎng)即可．

解答 （1）證明：∵AD⊥BC，BH⊥AO，
∴∠ADO=∠BHO=90°，
在△ADO與△BHO中，
$\left\{\begin{array}{l}∠ADO=∠BHO\\∠AOD=∠BOH\\ OA=OB\end{array}\right.$，
∴△ADO≌△BHO（AAS），
∴OH=OD，
又∵OA=OB，
∴AH=BD；
（2）解：連接AB、AF，如圖1所示，

∵AO是半徑，AO⊥弦BF，
∴∴AB=AF，
∴∠ABF=∠AFB，
在Rt△ADB與Rt△BHA中，
$\left\{\begin{array}{l}AH=BD\\ AB=BA\end{array}\right.$，
∴Rt△ADB≌Rt△BHA（HL），
∴∠ABF=∠BAD，
∴∠BAD=∠AFB，
又∵∠ABF=∠EBA，
∴△BEA∽△BAF，
∴$\frac{BE}{BA}$=$\frac{BA}{BF}$，
∴BA²=BE•BF，
∵BE•BF=y，
∴y=BA²，
∵∠ADO=∠ADB=90°，
∴AD²=AO²-DO²，AD²=AB²-BD²，
∴AO²-DO²=AB²-BD²，
∵直徑BC=8，BD=x，
∴AB²=8x，
則y=8x（0＜x＜4）；
方法二：∵BE•BF=y，BF=2BH，
∴BE•BH=$\frac{1}{2}$y，
∵△BED∽△BOH，
∴$\frac{BE}{OB}$=$\frac{BD}{BH}$，
∴OB•BD=BE•BH，
∴4x=$\frac{1}{2}$y，
∴y=8x（0＜x＜4）；
（3）解：連接OF，如圖2所示，

∵∠GFB是公共角，∠FAE＞∠G，
∴當(dāng)△FAE∽△FBG時(shí)，∠AEF=∠G，
∵∠BHA=∠ADO=90°，
∴∠AEF+∠DAO=90°，∠AOD+∠DAO=90°，
∴∠AEF=∠AOD，
∴∠G=∠AOD，
∴AG=AO=4，
∵∴∠AOD=∠AOF，
∴∠G=∠AOF，
又∵∠GFO是公共角，
∴△FAO∽△FOG，
∴$\frac{AF}{OF}$=$\frac{OF}{FG}$，
∵AB²=8x，AB=AF，
∴AF=2$\sqrt{2}$x，
∴$\frac{2\sqrt{2}x}{4}$=$\frac{4}{4+2\sqrt{2}x}$，
解得：x=3±$\sqrt{5}$，
∵3+$\sqrt{5}$＞4，舍去，
∴BD=3-$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于圓的綜合題，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．