Question

如圖，在△ABC中，D為AB的延長線上一點(diǎn)，且BD=AC，∠ACB=∠ABC，E是AB的中點(diǎn)，連接CD，CE．求證：CE=

1

2

CD．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形中位線定理,全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：取AC的中點(diǎn)F，連接BF，求出AE=AF，利用“邊角邊”證明△ABF和△ACE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BF=CE，再判斷出BF是△ACD的中位線，然后根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半證明．

解答：證明：如圖，取AC的中點(diǎn)F，連接BF，
∵∠ACB=∠ABC，
∴AB=AC，
∵E是AB的中點(diǎn)，
∴AE=AF=

1

2

AB，
在△ABF和△ACE中，

AB=AC ∠A=∠A AE=AF

，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴BF=CE，
∵BD=AC，
∴BD=AB，
∴BF是△ACD的中位線，
∴BF=

1

2

CD，
∴CE=

1

2

CD．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，等角對等邊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．