Question

已知：拋物線y=-x²-2x+3與x軸相交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于C，頂點為P．已知點M是拋物線上的一個動點，且在第二象限內，當△ACM的面積最大時，求出此時點M的坐標和△ACM的最大面積．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：由函數(shù)的解析式畫出大致圖象，當-2＜x＜0或-3＜x≤-2時，如圖1、2，設△ACM的面積為S，M（x，-x²-2x+3）（x＜0），作ME⊥y軸，就有ME=-x，OE=-x²-2x+3，由三角形的面積公式和梯形的面積公式就可以求出結論．

解答：解：設△ACM的面積為S，M（x，-x²-2x+3）（x＜0），作ME⊥y軸，
∴ME=-x，OE=-x²-2x+3．
∵y=-x²-2x+3，
∴y=0時，0=-x²-2x+3，
∴x₁=1，x₂=-3．
∵點A在點B左側，
∴OA=3．
如圖1，當-2＜x＜0時，
S₁=

(-x+3)(-x2-2x+3)

2

-

(-x2-2x+3-3)(-x)

2

-4.5，
=-

3

2

x²-

9

2

x，
=-

3

2

（x+

3

2

）²+

27

8

，
∴a=-

3

2

＜0，拋物線開口向下，函數(shù)有最大值．
∴x=-

3

2

時，S_最大=

27

8

；
∵-2＜x＜0，
x=-2時，S_最大=3
如圖2，當-3＜x≤-2時，
S₂=

(-x+3)(-x2-2x+3)

2

+

-x(3+x2+2x-3)

2

-

9

2

，
=-

3

2

x²-

9

2

x，
=-

3

2

（x+

3

2

）²+

27

8

，
∴a=-

3

2

＜0，
∴拋物線的開口向下，在對稱軸的左側S隨x的增大而增大．
∴x=-2時，S_最大=3
∵

27

8

＞3，
∴x=-

3

2

時，S_△ACM最大=

27

8

．
∴M（-

3

2

，

15

4

）．
答：M（-

3

2

，

15

4

）時，S_△ACM最大=

27

8

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的圖象的性質的運用，三角形的面積公式的運用，梯形的面積公式的運用，拋物線與x軸的交點坐標的運用，分類討論的運用．解答時求出S與x的關系式是關鍵．