Question

7．已知a+$\frac{1}{a}$=3，則a-$\frac{1}{a}$的值是±$\sqrt{5}$；已知x²-3x+1=0，則x⁴+x^-4=47．

Answer 1

分析 首先將a+$\frac{1}{a}$=3兩邊同時(shí)平方得到a²+2+$\frac{1}{{a}^{2}}$=9，然后可得到（a-$\frac{1}{a}$）²=5，最后利用算術(shù)平方根的性質(zhì)求解即可；
方程x²-3x+1=0兩邊同時(shí)除以x得：x+$\frac{1}{x}$=3，接下來，方程兩邊進(jìn)行平方求得x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=7，最后方程兩邊再次進(jìn)行平方可求得x⁴+x^-4的值．

解答 解：∵a+$\frac{1}{a}$=3，
∴（a+$\frac{1}{a}$）²=9．
∴a²+2+$\frac{1}{{a}^{2}}$=9．
∴a²-2+$\frac{1}{{a}^{2}}$=5．
∴（a-$\frac{1}{a}$）²=5．
∴a-$\frac{1}{a}$=±$\sqrt{5}$．
方程x²-3x+1=0兩邊同時(shí)除以x得：x+$\frac{1}{x}$=3，
∴x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=7．
∴x⁴+$\frac{1}{{x}^{4}}$+2=49．
∴x⁴+$\frac{1}{{x}^{4}}$=47，即x⁴+x^-4=47．
故答案為：$±\sqrt{5}$；47．

點(diǎn)評 本題主要考查的是完全平方公式的應(yīng)用，能夠應(yīng)用完全平方公式對方程進(jìn)行變形是解題的關(guān)鍵．