Question

19．如圖，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，點D在AC上，將△ABD繞頂點B沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△CBE．
（1）求∠DCE的度數(shù)；
（2）當(dāng)AB=8，AD：DC=1：3時，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）由題意我們知道∠A+∠C=90°，那么我們只要通過全等三角形來得出∠BCE=∠A，就能得出∠DCE=90°的結(jié)論，那么關(guān)鍵就是證明三角形ADB和CBE全等，根據(jù)題意我們知△CBE是由△ABD旋轉(zhuǎn)得來，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)我們可得出兩三角形全等．
（2）由（1）可得出三角形DEC是個直角三角形，要求DE的長，就必須求出CD和CE，由（1）可知AD=CE，那么就必須求出AD和DC的長，有AD，CD的比例關(guān)系，那么求出AC就是關(guān)鍵．直角三角形ABC中，AB=AC，有AB的長，進而可得AC的值．

解答 解：（1）∵△CBE是由△ABD旋轉(zhuǎn)得到的，
∴△ABD≌△CBE，
∴∠A=∠BCE=45°，
∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=90°．

（2）在等腰直角三角形ABC中，∵AB=8，
∴AC=8$\sqrt{2}$，
又∵AD：DC=1：3，
∴AD=2$\sqrt{2}$，DC=6$\sqrt{2}$．
由（1）知AD=CE且∠DCE=90°，
∴DE²=DC²+CE²=72+8=80，
∴DE=4$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，勾股定理，本題中利用全等三角形得出線段和角相等是解題的關(guān)鍵．