Question

2．閱讀理解：有一個(gè)n位自然數(shù)$\overline{{n_1}{n_2}{n_3}…{n_n}}$（n，n₁，n₂，n₃，…n_n是正整數(shù)，n≥2，1≤n₁，n₂，n₃，…n_n＜9），若交換不同數(shù)位上的數(shù)字得到一新數(shù)則叫這個(gè)n位自然數(shù)$\overline{{n_1}{n_2}{n_3}…{n_n}}$的一個(gè)“輪換數(shù)”，如：$\overline{{n_2}{n_1}{n_3}…{n_n}}$，$\overline{{n_1}{n_3}{n_2}…{n_n}}$均是$\overline{{n_1}{n_2}{n_3}…{n_n}}$的一個(gè)“輪換數(shù)”；36是63的一個(gè)“輪換數(shù)”，243是324的一個(gè)“輪換數(shù)”．
（1）寫出213的所有輪換數(shù)．
（2）證明：任何一個(gè)3位自然數(shù)$\overline{{n_1}{n_2}{n_3}}$與它所有輪換數(shù)的和是111的倍數(shù)．
（3）試求：4213與它所有輪換數(shù)的和．

Answer 1

分析 表示出這個(gè)三位自然數(shù)，和輪換三位自然數(shù)，得到能整除即可．

解答 （1）213的所有“輪換數(shù)”為：231，123，132，321，312，
（2）$\overline{{n_1}{n_2}{n_3}}$與它所有輪換數(shù)的和為：$\overline{{n_1}{n_2}{n_3}}$+$\overline{{n_1}{n_2}{n_3}}$+$\overline{{n_1}{n_2}{n_3}}$+$\overline{{n_1}{n_2}{n_3}}$+$\overline{{n_1}{n_2}{n_3}}$+$\overline{{n_1}{n_2}{n_3}}$，
=2（$\overline{{n_1}{n_2}{n_3}}$）．
=2（$\overline{{n_1}{n_2}{n_3}}$）×111
$\overline{{n_1}{n_2}{n_3}}$是正整數(shù)$\overline{{n_1}{n_2}{n_3}}$是正整數(shù)
所以2（$\overline{{n_1}{n_2}{n_3}}$）×111是111的倍數(shù)，即任何一個(gè)3位自然數(shù)$\overline{{n_1}{n_2}{n_3}}$與它所有輪換數(shù)的和是111的倍數(shù)；
（3）當(dāng)4為首位時(shí)，由（1）知，213與213數(shù)位輪換共有6種情況，再由（2）運(yùn)算過程可知，4213與它所有輪換數(shù)的和為：
6×（1+2+3+4）×1111=66660．

點(diǎn)評 此題是數(shù)的整除性，主要考查了3的倍數(shù)，4的倍數(shù)，5的倍數(shù)的特點(diǎn)，解本題的關(guān)鍵是用5的倍數(shù)求出b的值．