Question

8．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為AC邊上一點(diǎn)，連接BD，AF⊥BD于點(diǎn)F，點(diǎn)E在BF上，連接AE，∠EAF=45°；
（1）如圖1，EM∥AB，分別交AF、AD于點(diǎn)Q、M，求證：FD=FQ；
（2）如圖2，連接CE，AK⊥CE于點(diǎn)K，交DE于點(diǎn)H，∠DEC=30°，HF=$\frac{3}{2}$，求EC的長．

Answer 1

分析 （1）證得△ADF≌EQF，即可證得結(jié)論；
（2）延長AF交CE于P，證得△ABH≌△APC得出AH=CP，證得△AHF≌△EPF得出AH=EP，得出EC=2AH，解30°的直角三角形AFH求得AH，即可求得EC的長．

解答 （1）證明：如圖1，∵∠EAF=45°，AF⊥BD，
∴AF=EF，
∵EM∥AB，∠BAC=90°，
∴∠AME=90°，
∴∠AQM+∠FAD=90°，
∵∠ADF+∠FAD=90°，
∴∠AQM=∠ADF，
∴∠EQF=∠ADF，
在△ADF和EQF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠EQF}\\{∠AFD=∠EFQ=90°}\\{AF=EF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌EQF（AAS），
∴FD=FQ；
（2）解：如圖2，延長AF交CE于P，
∵∠ABH+∠ADB=90°，∠PAC+∠ADB=90°，
∴∠ABH=∠PAC，
∵AK⊥CE，AF⊥BD，∠EHK=∠AHF，
∴∠HEK=∠FAH，
∵∠FAH+∠AHF=90°，∠HEK+∠EPF=90°，
∴∠AHF=∠EPF，
∴∠AHB=∠APC，
在△ABH與△APC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠PAC}\\{AB=AC}\\{∠AHB=∠APC}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△APC（ASA），
∴AH=CP，
在△AHF與△EPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHF=∠EPF}\\{∠AFH=∠EFP=90°}\\{AF=EF}\end{array}\right.$，
∴△AHF≌△EPF（AAS），
∴AH=EP，∠CED=∠HAF，
∴EC=2AH，
∵∠DEC=30°，
∴∠HAF=30°，
∴AH=2FH=2×$\frac{3}{2}$=3，
∴EC=2AH=6．

點(diǎn)評 本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，（2）作出輔助線根據(jù)全等三角形是解題的關(guān)鍵．