Question

如圖，△ABC中，∠A=90°，角平分線BD、CE交于點(diǎn)I，IF⊥CE交CA于F，IH⊥AB于H，下列結(jié)論：①∠DIF=45°；②CF+BE=BC；③AE+AF=2AH；④S_{四邊形△BEDC}=2S_△IBC，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)

專題：

分析：由條件可知I為△ABC的內(nèi)切圓的圓心，設(shè)與BC、AC兩邊分別切于點(diǎn)J、G，連接IJ、IG，則可知IG⊥AC，IJ⊥BC，利用三角形內(nèi)角和及角平分線的定義可求得∠BIC=135°，可求得∠CID=45°，則可得出①正確；可證明△IGD≌△IHE，則可判斷②③正確；利用切線長(zhǎng)定理可得△BIE≌△BIJ，△CID≌△CIJ，可判斷④不正確．

解答：解：
由題意可知I為△ABC內(nèi)切圓的圓心，
如圖，設(shè)與BC、AC兩邊分別切于點(diǎn)J、G，連接IJ、IG，則可知IG⊥AC，IJ⊥BC，
∵BI、CI平分∠ABC和∠ACB，
∴∠BIC=180°-∠IBJ-∠ICJ=180°-

1

2

（∠ABC+ACB）=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A=135°，
∴∠CID=45°，
∵FI⊥CE，
∴∠DIF=90°-∠CID=45°，
∴①正確；
∵∠A=90°，IH⊥AB，IG⊥AC，
∴∠HIG=90°，
∴∠HIE+∠HIF=∠HIF+∠FIG=90°，
∴∠HIE=∠FIG，
在△HIE和△GIF中

∠EHI=∠FGI HI=IG ∠HIE=∠FIG

∴△HIE≌△GIF（ASA），
∴HE=GF，
又由切線長(zhǎng)定理可知AH=AG，CG=CJ，BH=BJ，
∴AE+AF=AH+HE+AG-GF=2AH，CF+BE=CG+GF+BH-EH=CG+BH=BJ+CJ=BC，
∴②③正確；
且容易證明△BIE≌△BIJ，△CID≌△CIJ，
∴S_△BIH=S_△BIJ，S_△CIG=S_△CIJ，
∴S_△BIC=S_△BIH+S_△CIG=S_△BIE+S_△HIE+S_△CIF-S_△GIF=S_△BIE+S_△CIF，
∴S_{四邊形BEDC}=2S_△BIC+S_△DIE＞2S_△BIC，
∴④不正確；
綜上可知正確的為①②③，共三個(gè)，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查角平分線的性質(zhì)及切線的性質(zhì)，掌握三角形角平分線的交點(diǎn)為內(nèi)切圓的圓心，從而畫出內(nèi)切圓是解題的關(guān)鍵．