Question

小紅、小明在一起寫作業(yè)，老師布置的一道思考題引起他們的興趣：“已知半徑為10cm的⊙O中有兩條平行弦AB、CD，且AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD間的距離．”小紅得到的結(jié)果是“兩平行弦之間的距離為14cm”，小明得到的結(jié)果是“兩平行弦之間的距離為2cm”．你認為他們倆誰對？為什么？說明理由．

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理

專題：分類討論

分析：作OE⊥AB于E，OE交CD于F，連結(jié)OA、OC，如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)得EF⊥CD，根據(jù)垂徑定理得AE=

1

2

AB=6，CF=

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2

CD=8，再根據(jù)勾股定理，在Rt△AOE中計算出OE=8，在Rt△COF中計算出OF=6，然后分類討論：當圓心O在AB與CD之間時，如圖1，EF=OE+OF；當圓心O不在AB與CD之間時，如圖2，EF=OE-OF，最后把OE與OF的值代入計算即可．

解答：解：他們都不對，兩平行弦之間的距離為2cm或14cm．
理由如下：OE⊥AB于E，OE交CD于F，連結(jié)OA、OC，如圖，
∵AB∥CD，
∴EF⊥CD，
∴AE=BE=

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2

AB=6，CF=DF=

1

2

CD=8，
在Rt△AOE中，∵OA=10，AE=6，
∴OE=

OA2-AE2

=8，
在Rt△COF中，∵OC=10，CE=8，
∴OF=

OC2-CF2

=6，
當圓心O在AB與CD之間時，如圖1，

EF=OE+OF=8+6=14（cm）；
當圓心O不在AB與CD之間時，如圖2，

EF=OE-OF=8-6=2（cm），
綜上所述，AB、CD間的距離為2cm或14cm．

點評：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了勾股定理．