Question

如圖，點M是矩形ABCD邊AD的中點，2AB=AD，點P是BC邊上一動點，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足分別為E、F，求點P運動到什么位置時，四邊形PEMF為正方形，并證明．

Answer 1

考點：正方形的判定,矩形的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)矩形的性質(zhì)和已知條件推出∠A=∠D=90°，AB=CD，AM=DM，求出∠ABM=∠AMB=45°，∠DCM=∠DMC=45°，求出∠BMC=90°，即可求出矩形PEMF．根據(jù)AAS證△BFP≌△CEP，推出PE=PF即可．

解答：解：當P是BC的中點時，四邊形PEMF為正方形．理由如下：
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵AD=2AB=2CD，AM=DM=

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AD，
∴AB=AM=DM=CD，
∴∠ABM=∠AMB=45°，∠DCM=∠DMC=45°，
∴∠BMC=180°-45°-45°=90°，
∵PE⊥MC，PF⊥BM，
∴∠MEP=∠FPE=90°，
∴四邊形PEMF為矩形，
∴∠PFM=∠PFB=∠PEC=90°．
在△BFP和△CEP中

∠FBP=∠ECP ∠PFB=∠PEC BP=CP

，
∴△BFP≌△CEP（AAS），
∴PE=PF，
∵四邊形PEMF是矩形，
∴矩形PEMF是正方形，
即當P是BC的中點時，矩形PEMF為正方形．

點評：本題主要考查對矩形的判定和性質(zhì)，正方形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點的理解和掌握，熟練地運用性質(zhì)進行推理是解此題的關鍵．