Question

5．如圖（1）所示，E為矩形ABCD的邊AD上一邊，動點(diǎn)P，Q同時從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P沿折線BE-ED-DC運(yùn)動到點(diǎn)C時停止，點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動到點(diǎn)C時停止，它們運(yùn)動的速度都是1cm/秒，設(shè)P、Q同時出發(fā)t秒時，△BPQ的面積為ycm²．已知y與t的函數(shù)關(guān)系圖象如圖（2）（曲線OM為拋物線的一部分）則下列結(jié)論正確的是（　�。�

• A． AB：AD=3：4
• B． 當(dāng)△BPQ是等邊三角形時，t=5秒
• C． 當(dāng)△ABE∽△QBP時，t=7秒
• D． 當(dāng)△BPQ的面積為4cm²時，t的值是$\sqrt{10}$或$\frac{47}{5}$秒

Answer 1

分析 先根據(jù)圖象信息求出AB、BE、BE、AE、ED，
A、直接求出比，
B、先判斷出∠EBC≠60°，從而得出點(diǎn)P可能在ED上時，△PBQ是等邊三角形，但必須是AD的中點(diǎn)，而AE＞ED，所以點(diǎn)P不可能到AD中點(diǎn)的位置，故△PBQ不可能是等邊三角形；
C、利用相似三角形性質(zhì)列出方程解決，分兩種情況討論計算即可，
D、分點(diǎn)P在BE上和點(diǎn)P在CD上兩種情況計算即可．

解答 解：由圖象可知，AD=BC=BE=5，CD=AB=4，AE=3，DE=2，
A、∴AB：AD=5：4，故A錯誤，
B、∵tan∠ABE=$\frac{AE}{AB}=\frac{3}{4}$，
∴∠ABE≠30°
∴∠PBQ≠60°，
∴點(diǎn)P在ED時，有可能△PBQ是等邊三角形，
∵BE=BC，
∴點(diǎn)P到點(diǎn)E時，點(diǎn)Q到點(diǎn)C，
∴點(diǎn)P在線段AD中點(diǎn)時，有可能△PBQ是等邊三角形，
∵AE＞DE，
∴點(diǎn)P不可能到AD的中點(diǎn)，
∴△PBQ不可能是等邊三角形，故B錯誤，
C、∵△ABE∽△QBP，
∴點(diǎn)E只有在CD上，且滿足$\frac{BC}{AB}=\frac{CP}{AE}$，
∴$\frac{5}{4}$=$\frac{CP}{3}$，
∴CP=$\frac{15}{4}$．
∴t=（BE+ED+DQ）÷1=5+2+（4-$\frac{15}{4}$）=$\frac{29}{4}$．
故C錯誤，
D、①如圖（1）

在Rt△ABE中，AB=4，BE=5
sin∠AEB=$\frac{AB}{BE}=\frac{4}{5}$，
∴sin∠CBE=$\frac{4}{5}$
∵BP=t，
∴PG=BPsin∠CBE=$\frac{4}{5}$t，
∴S_△BPQ=$\frac{1}{2}$BQ×PG=$\frac{1}{2}$×t×$\frac{4}{5}$t=$\frac{2}{5}{t}^{2}$=4，
∴t=-$\sqrt{10}$（舍）或t=$\sqrt{10}$，
②當(dāng)點(diǎn)P在CD上時，
S_△BPQ=$\frac{1}{2}$×BC×PC=$\frac{1}{2}$×5×（5+2+4-t）=$\frac{5}{2}$×（11-t）=4，
∴t=$\frac{47}{5}$，
∴當(dāng)△BPQ的面積為4cm²時，t的值是$\sqrt{10}$或$\frac{47}{5}$秒，故D正確，
故選D．

點(diǎn)評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象、矩形的性質(zhì)、三角形的面積公式等知識．解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息求出相應(yīng)的線段，學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想，把問題轉(zhuǎn)化為方程的思想解決，屬于中考�？碱}型．．