Question

12．如圖1，點A（1，6）和點M（m，n）都在反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}（k＞0）$的圖象上．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）當m=3時，求直線AM的解析式，并求出△AOM的面積；
（3）如圖2，當m＞1時，過點M作MP⊥x軸，垂足為P，過點A作AB⊥y軸，垂足為B，試判斷直線BP與直線AM的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（1，6）代入y=$\frac{k}{x}$，求出k即可得出結果；
（2）先確定M的坐標，用待定系數(shù)法即可求出直線AM的解析式；再求出直線AM與x軸的交點坐標，△AOM的面積=梯形ABON的面積減去△AOB和△OMN的面積；
（3）當m＞1時，用待定系數(shù)法求出直線BP和AM的常數(shù)k、a的值即可確定位置關系．

解答 解：（1）把A（1，6）代入得：6=$\frac{k}{1}$，
∴k=6，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=$\frac{6}{x}$；
（2）如圖2所示：當m=3時，n=$\frac{6}{3}$=2，
∴M（3，2），
設直線AM的解析式為：y=kx+b；
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=6}\\{3k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：k=-2，b=8，
∴直線AM的解析式為：y=-2x+8；
當y=0時，x=4，
∴直線AM與x軸的交點為N（4，0），
∴△AOM的面積=梯形ABON的面積-△AOB的面積-△OMN的面積
=$\frac{1}{2}$（1+4）×6-$\frac{1}{2}$×1×6-$\frac{1}{2}$×4×2=8；
（3）當M＞1時，BP∥AM；理由如下：
根據(jù)題意得：P（m，0），M（m，$\frac{6}{m}$），B（0，6），
設直線BP的解析式為：y=kx+b，
把點B（0，6），P（m，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=6}&{\;}\\{mk+b=0}&{\;}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{6}{m}$；
設直線AM的解析式為：y=ax+c，
把點（1，6），M（m，$\frac{6}{m}$）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{k+c=6}\\{am+c=\frac{6}{m}}\end{array}\right.$，
解得a=-$\frac{6}{m}$，
∵k=a=-$\frac{6}{m}$，
∴直線BP與直線AM的位置關系是BP∥AM．

點評 本題是反比例函數(shù)綜合題，考查了反比例函數(shù)解析式的求法、用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式、三角形面積的計算方法等知識；本題難度較大，綜合性強，特別是（2）（3）中，需要用待定系數(shù)法求幾個一次函數(shù)的解析式和確定點的坐標；用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式是解決問題的關鍵．