Question

20．設(shè)x₁、x₂是方程x²-x-2015=0的兩實數(shù)根，則${x_1}^3-{x_1}^2+2015{x_2}$=2015．

Answer 1

分析 先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到x₁²-x₁-2015=0，即x₁²=x₁+2015，則x₁³=2016x₁+2015，所以${x_1}^3-{x_1}^2+2015{x_2}$=2015（x₁+x₂），然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解．

解答 解：∵x₁是方程x²-x-2015=0的根，
∴x₁²-x₁-2015=0，即x₁²=x₁+2015，
∴x₁³=x₁²+2015x₁=x₁+2015+2015x₁=2016x₁+2015，
∴${x_1}^3-{x_1}^2+2015{x_2}$=2016x₁+2015-（x₁+2015）+2015x₂=2015（x₁+x₂），
∵x₁、x₂是方程x²-x-2015=0的兩實數(shù)根，
∴x₁+x₂=1，
∴${x_1}^3-{x_1}^2+2015{x_2}$=2015．
故答案為2015．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了一元二次方程的解．