Question

在矩形ABCD中，AE平分∠DAC，DH⊥AC于H交AE于點F，過F作FG∥AC交CD于點G，
（1）求證：DE=CG；
（2）若AC平分∠BAE，F(xiàn)H=2，求四邊形ECHF的面積．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠DAE=∠CAE，然后根據(jù)等角的余角相等求出∠DEF=∠DFE，再根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)求出DE=DF，過點F作FM⊥AD于M，過點G作GN⊥AC于N，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得FH=FM，根據(jù)矩形的對邊相等求出FH=GN，再求出∠GCN=∠FDA，然后利用“角角邊”證明△DMF和△CNH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CG=DF，從而得證；
（2）求出∠DAE=∠CAE=∠BAC=30°，然后根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AF，再求出AH、AM，然后求出AD、CD，解直角三角形求出DE，再求出CE，最后根據(jù)S_{四邊形ECHF}=S_△ACE-S_△AFH列式計算即可得解．

解答：（1）證明：∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠CAE，
∵∠DEF+∠DAE=∠AFH+∠CAE，∠AFH=∠DFE，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF，
過點F作FM⊥AD于M，過點G作GN⊥AC于N，
∵AE平分∠DAC，
∴FH=FM，
∵DH⊥AC，F(xiàn)G∥AC，
∴四邊形FHNG是矩形，
∴FH=GN，
∴FM=GN，
∵DH⊥AC，
∴∠GCN+∠CDH=90°，
∵∠FDA+∠CDH=∠ADC=90°，
∴∠GCN=∠FDA，
在△DMF和△CNH中，

∠GCN=∠FDA ∠DMF=∠CNG=90° FM=GN

，
∴△DMF≌△CNH（AAS），
∴CG=DF，
∴DE=CG；

（2）解：∵AC平分∠BAE，AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠CAE=∠BAC=90°÷3=30°，
∵FH=2，
∴AF=2FH=2×2=4，
∴AM=AH=

42-22

=2

3

，
∵∠ADF=∠ACD=∠BAC=30°，F(xiàn)M⊥AD，
∴AD=2AM=2×2

3

=4

3

，
∴CD=

3

AD=

3

×4

3

=12，
∵DE=

3

3

×4

3

=4，
∴CE=CD-DE=12-4=8，
∴S_{四邊形ECHF}=S_△ACE-S_△AFH
=

1

2

×8×4

3

-

1

2

×2×2

3

=16

3

-2

3

=14

3

．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，等角的余角相等的性質(zhì)，解直角三角形，難點在于作輔助線構(gòu)造出矩形和全等三角形．