Question

如圖，在Rt△ABC中，AC=BC，AC⊥BC，AE⊥BE，AE=

1

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BD．求證：BE平分∠ABC．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等腰三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：延長BC，AE交于點F，易證∠CBD=∠EAD，即可證明△ACF≌△BCD，可得AF=BC，即可證明BE垂直平分AF，根據等腰三角形底邊三線合一性質即可解題．

解答：證明：延長BC，AE交于點F，

∵∠ADE=∠BDC，∠EAD+∠ADE=90°，∠CBD+∠BDC=90°，
∴∠CBD=∠EAD，
∵在△ACF和△BCD中，

∠CBD=∠EAD BC=AC ∠BCD=∠ACF=90°

，
∴△ACF≌△BCD，（ASA）
∴AF=BC，
∵BC=2AF，
∴AE=EF，
∵BE⊥AF，
∴BE垂直平分AF，
∴AB=BF，
∵等腰△ABF中，E是AF中點，且BE⊥AF，
∴∠ABD=∠CBD，即BE平分∠ABC．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考擦好了全等三角形對應邊相等的性質，考查了等腰三角形底邊三線合一的性質，本題中求證△ACF≌△BCD是解題的關鍵．