Question

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²-2ax-3a（a＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線l：y=kx+b與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4．
（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求直線l的函數(shù)表達(dá)式（其中k、b用含a的式子表示）；
（2）點(diǎn)E是直線l上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若△ACE的面積的最大值為$\frac{25}{8}$，求a的值；
（3）設(shè)P是拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，當(dāng)a=-1時(shí)，以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為矩形？若能，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)；解方程0=ax²-2ax-3a得到點(diǎn)A的橫坐標(biāo)；把點(diǎn)D的橫坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式得到ax²-2ax-3a=kx+k，由此求得k=b，結(jié)合點(diǎn)A、D的坐標(biāo)來(lái)求直線l的函數(shù)表達(dá)式；
（2），如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF∥y軸，交直線l于點(diǎn)F，由函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可以設(shè)E（x，ax²-2ax-3a），則F（x，ax+a），結(jié)合圖形得到：S_△ACE=S_△AFE-S_△CFE=$\frac{1}{2}$a（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{8}$a，根據(jù)二次函數(shù)的最值求得答案；
（3）分兩種情形討論即：若AD是矩形的一條邊，利用勾股定理列出方程解決；如圖3中，若AD是矩形的一條對(duì)角線，列出方程即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）令y=0，則0=ax²-2ax-3a，
解得x₁=-1，x₂=3
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴A（-1，0），
∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，
∴0=-k+b，b=k，
∴y=kx+k，
∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4，令ax²-2ax-3a=kx+k，
∴a×4²-2a×4-3a=k×4+k，
∴k=a，
∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=ax+a；

（2）如答圖1，過(guò)點(diǎn)E作EF∥y軸，交直線l于點(diǎn)F，
設(shè)E（x，ax²-2ax-3a），則F（x，ax+a）
EF=ax²-2ax-3a-（ax+a）=ax²-3ax-4a
S_△ACE=S_△AFE-S_△CFE
=$\frac{1}{2}$（ax²-3ax-4a）（x+1）-$\frac{1}{2}$（ax²-3ax-4a）x
=$\frac{1}{2}$（ax²-3ax-4a）=$\frac{1}{2}$a（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{8}$a，
∴△ACE的面積的最大值為-$\frac{25}{8}$a，
∵△ACE的面積的最大值為$\frac{25}{8}$，
∴-$\frac{25}{8}$a=$\frac{25}{8}$，
解得a=-1；

（3）當(dāng)a=-1時(shí)，拋物線解析式為y=-x²+2x+3，
∴A（-1，0），D（4，-5），
∴A、D點(diǎn)的橫坐標(biāo)相差5，
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=1，
∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1，
①如答圖2，若AD是平行四邊形的一條邊，AD∥QP，則點(diǎn)P與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相差5，則Q點(diǎn)橫坐標(biāo)是-4，
∴Q（-4，-21）；
②如答圖3，若AD是平行四邊形的一條對(duì)角線，
則線段AD的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是$\frac{3}{2}$，
∵P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1，
∴Q點(diǎn)橫坐標(biāo)是2，
∴Q（2，3），
經(jīng)驗(yàn)證以上兩種以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形都不可能是矩形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，一次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會(huì)分類討論的思想，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于中考?jí)狠S題．