Question

17．△ABC的三條角平分線相交于點I，過點I作DI⊥IC，交AC于點D．
（1）如圖1，求證：∠AIB=∠ADI；
（2）如圖2，延長BI，交外角∠ACE的平分線于點F．
①判斷DI與CF的位置關(guān)系，并說明理由；
②若∠BAC=70°，求∠F的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）只要證明∠AIB=90°+$\frac{1}{2}$∠ACB，∠ADI=90°+$\frac{1}{2}$∠ACB即可；
（2）①只要證明∠IDC=∠DCF即可；
②首先求出∠ACE-∠ABC=∠BAC=70°，再證明∠F=$\frac{1}{2}$∠ACE-$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$（∠ACE-∠ABC）即可解決問題；

解答 （1）證明：∵AI、BI分別平分∠BAC，∠ABC，
∴∠BAI=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠ABI=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠BAI+∠ABI=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ABC）=$\frac{1}{2}$（180°-∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴在△ABI中，∠AIB=180°-（∠BAI+∠ABI）
=180°-（90°-$\frac{1}{2}$∠ACB）
=90°+$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵CI平分∠ACB，
∴∠DCI=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵DI⊥IC，
∴∠DIC=90°，
∴∠ADI=∠DIC+∠DCI=90°+$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠AIB=∠ADI．

（2）①解：結(jié)論：DI∥CF．
理由：∵∠IDC=90°-∠DCI=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵CF平分∠ACE，
∴∠ACF=$\frac{1}{2}$∠ACE=$\frac{1}{2}$（180°-∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠IDC=∠ACF，
∴DI∥CF．

②解：∵∠ACE=∠ABC+∠BAC，
∴∠ACE-∠ABC=∠BAC=70°，
∵∠FCE=∠FBC+∠F，
∴∠F=∠FCE-∠FBC，
∵∠FCE=$\frac{1}{2}$∠ACE，∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠F=$\frac{1}{2}$∠ACE-$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$（∠ACE-∠ABC）=35°

點評 本題考查三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)、平行線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考�？碱}型．