Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（m+3）x+

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（ m+2）=0
（1）試證：無(wú)論取任何實(shí)數(shù)，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
（2）設(shè)x₁、x₂是方程的兩根，且滿足x₁²+x₂²-x₁x₂=

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，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：（1）表示出根的判別式，配方后得到根的判別式大于0，進(jìn)而確定出方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系可以得到x₁+x₂=m+3，x₁•x₂=

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（m+2），再把x₁²+x₂²-x₁x₂=

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利用完全平方公式變形為（x₁+x₂）²-3x₁•x₂=

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，然后代入計(jì)算即可求解．

解答：（1）證明：△=[-（m+3）]²-4×

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（m+2）=m²+6m+9-2m-4=m²+4m+5=（m+2）²+1，
∵（m+2）²≥0，
∴（m+1）²+1＞0，
則無(wú)論m取何實(shí)數(shù)時(shí)，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）解：∵這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=m+3，x₁•x₂=

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（m+2），
而x₁²+x₂²-x₁x₂=

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，
∴（x₁+x₂）²-3x₁•x₂=

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，
∴（m+3）²-3×

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（m+2）=

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，
∴2m²+9m-5=0，
解得m=-5或

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．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，同時(shí)考查了解方程的綜合應(yīng)用能力及推理能力．