Question

1．如圖，P、Q是Rt△ABC斜邊AB上的點(diǎn)，AQ=AC，BP=CB，△ABC內(nèi)切圓半徑為5，則△CPQ外接圓半徑為5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如圖設(shè)⊙O是△ABC內(nèi)切圓，E、F是切點(diǎn)，連接OE、OF、0A、OB、OC，只要證明點(diǎn)O是△CPQ的外接圓的圓心即可解決問題．

解答 解：如圖設(shè)⊙O是△ABC內(nèi)切圓，E、F是切點(diǎn)，連接OE、OF、0A、OB、OC．
∵點(diǎn)O是△ABC內(nèi)心，
∴OA平分∠CAB，OB平分∠CBA，
∵AC=AQ，BC=BP，
∴AO垂直平分CQ，BO垂直平分PC，
∴點(diǎn)O是△PCQ的外心，
∵∠ECF=∠OEC=∠OFC=90°，
∴四邊形OECF是矩形，
∵OE=OF=5，
∴四邊形OECF是正方形，
∴OC=$\sqrt{2}$OE=5$\sqrt{2}$，
∴△PCQ的外接圓的半徑為5$\sqrt{2}$．
故答案為5$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查是矩形外接圓、內(nèi)切圓的性質(zhì)，內(nèi)心以及外心的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握內(nèi)心、外心的性質(zhì)，屬于填空題中的壓軸題．