Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（-2，0）、B（0，d）、C（-3，2）．
（1）求d的值；
（2）將△ABC沿x軸的正方向平移a個(gè)單位，在第一象限內(nèi)B、C兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′、C′正好落在某反比例函數(shù)圖象上．請(qǐng)求出這個(gè)反比例函數(shù)和此時(shí)的直線B′C′的解析式；
（3）在（2）的條件下，直線B′C′交y軸于點(diǎn)G．作C′M⊥x軸于M．P是線段B′C′上的一點(diǎn)，若△PMC′和△PBB′面積相等，求點(diǎn)P坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得答案；
（2）根據(jù)圖象向左平移加，可得B′、C′，根據(jù)待定系數(shù)法，可得k、a值，可得反比例函數(shù)解析式，再根據(jù)待定系數(shù)法，可得直線B′C′的解析式；
（3）根據(jù)點(diǎn)在函數(shù)圖象上，可得P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式，可得關(guān)于a的方程，根據(jù)解方程，可得a值，可得答案．

解答 解：（1）如圖1：

作CN⊥x軸于點(diǎn)N，
由線段的和差，得
AN=ON-AO=3-2=1．
在Rt△CNA和Rt△AOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAN=∠ABO}\\{∠CNA=∠AOB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴Rt△CNA≌Rt△AOB（AAS），
則AN=BO=1，
∴d=1；
（2）設(shè)反比例函數(shù)為y=$\frac{k}{x}$，點(diǎn)C'和B'在該比例函數(shù)圖象上，
設(shè)C'（a-3，2），則B'（a，1）
把點(diǎn)C'和B'的坐標(biāo)分別代入y=$\frac{k}{x}$，
得k=2a-6；k=a，
∴k=2k-6，則k=6，a=6，
反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{6}{x}$．
得點(diǎn)C'（3，2）；B'（6，1）．
設(shè)直線C'B'的解析式為y=ax+b，把C'、B'兩點(diǎn)坐標(biāo)代入
得$\left\{\begin{array}{l}{3a+b=2}\\{6a+b=1}\end{array}\right.$
∴解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=3}\end{array}\right.$；
∴直線C'B'的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+3．
（3）如圖2：
，
P在線段B′C′上，設(shè)P（a，-$\frac{1}{3}$a+3），作PD⊥C′M與D，作PE′BB′于E點(diǎn)，
C′M=2，BB′=6．PD=a-3，PE=-$\frac{1}{3}$a+3-1=-$\frac{1}{3}$a+2，
由△PMC′和△PBB′面積相等，得
$\frac{1}{2}$C′M•PD=$\frac{1}{2}$BB′•PE，即$\frac{1}{2}$×2（a-3）=$\frac{1}{2}$×6（-$\frac{1}{3}$a+2）．
解得a=$\frac{9}{2}$，-$\frac{1}{3}$a+2=$\frac{1}{2}$，
p（$\frac{9}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)綜合題，（1）利用了全等三角形的判定與性質(zhì)；（2）利用了圖象平移的規(guī)律，待定系數(shù)法得出關(guān)于k的方程是解題關(guān)鍵；（3）利用三角形的面積公式得出關(guān)于a的方程是解題關(guān)鍵．