Question

14．如圖，在Rt△ABC中，AB=AC=4$\sqrt{2}$．一動點P從點B出發(fā)，沿BC方向以每秒1個單位長度的速度勻速運動，到達點C即停止．在整個運動過程中，過點P作PD⊥BC與Rt△ABC的直角邊相交于點D，以PD為直角邊在PD左側(cè)作等腰直角三角形PDE．在整個運動過程中，設(shè)△ABC與△PDE重疊部分的面積為S，設(shè)運動時間為t秒．
（1）當t為何值時，E在AB上？
（2）當t=5，t=6時，求△ABC與△PDE重疊部分的面積S；
（3）寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式以及相應(yīng)的自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理求出BC的長，根據(jù)題意列式計算即可；
（2）根據(jù)題意、結(jié)合圖形計算即可；
（3）分0≤t≤4、4＜t≤$\frac{16}{3}$、$\frac{16}{3}$＜t≤8三種情況、結(jié)合圖形解答即可．

解答 解：（1）由勾股定理得，BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=8，
當E在AB邊上時，t=2（8-t），
解得，t=$\frac{16}{3}$；
（2）當t=5時，S=$\frac{1}{2}$×（8-5）²-$\frac{1}{2}$×（3-$\frac{5}{2}$）×2×（3-$\frac{5}{2}$）=$\frac{17}{4}$，
當t=6時，S=$\frac{1}{2}$×2×2=2；
（3）當0≤t≤4時，S=$\frac{1}{4}$t²；
當4＜t≤$\frac{16}{3}$時，S=$\frac{1}{2}$×（8-t）²-$\frac{1}{2}$×[（8-t）-$\frac{1}{2}$t]²×2=-$\frac{7}{4}$t²+16t-32；
當$\frac{16}{3}$＜t≤8時，S=$\frac{1}{2}×$（8-t）²=$\frac{1}{2}$t²-8t+32．

點評 本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定以及勾股定理的應(yīng)用，掌握相關(guān)的性質(zhì)定理、靈活運用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．