Question

3．在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)y=（m+1）x+m-3與一次函數(shù)y=（2m+1）x-m交于點(diǎn)A，
（1）求m的值及點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)A的直線l與坐標(biāo)軸在第一象限圍成等腰直角三角形，交y軸于點(diǎn)B，求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：m-3=0，求出m的值后分別代入兩個(gè)函數(shù)的解析式，然后聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)的解析式即可求出A點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）利用條件求出直線l的解析式，再求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后利用三角形的面積公式即可求出答案．

解答 解：（1）由題意可知：m-3=0，
∴m=3，
∴正比例函數(shù)為：y=4x，
一次函數(shù)為：y=7x-3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=4x}\\{y=7x-3}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴A的坐標(biāo)為（1，4）；
（2）設(shè)直線l的解析式為：y=kx+b，
把A（1，4）代入y=kx+b，
∴4=k+b，
∴直線l的解析式為：y=kx+4-k，
令x=0代入y=kx+4-k，
∴y=4-k，
∵過(guò)點(diǎn)A的直線l與坐標(biāo)軸在第一象限圍成等腰直角三角形，
∴直線l與x軸交點(diǎn)為（4-k，0），
∴把（4-k，0）代入y=kx+4-k，
∴k=4或k=-1，
∵直線l與第一象限圍成等腰直角三角形，
∴k＜0，
∴k=-1，
∴直線l的解析式為：y=-x+5，
∴B（0，5），
∴OB=5，
過(guò)點(diǎn)A作AD⊥y軸于點(diǎn)D，
∴AD=1，
∴△AOB的面積為：$\frac{1}{2}$AD•OB=$\frac{5}{2}$，

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)的解析式，涉及待定系數(shù)求解析式，三角形面積公式等知識(shí)，屬于綜合問(wèn)題．