Question

3．⊙O₁過半徑為3cm的⊙O₂的圓心O₂，圓O₁的弦AB切⊙O₂于點(diǎn)C，AO₂=15，BO₂=4，求⊙O₁的半徑．

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫出圖形，進(jìn)而利用切線的性質(zhì)得出CO₂的長(zhǎng)，再利用垂徑定理以及相交弦定理、勾股定理得出⊙O₁的半徑．

解答 解：如圖所示：連接O₂C，并延長(zhǎng)交⊙O₁于點(diǎn)H，作O₁J⊥O₂H于點(diǎn)J，O₁K⊥AB于點(diǎn)K，
∵⊙O₂的半徑為3cm，
∴CO₂=3cm，
∵AO₂=15，BO₂=4，
∴AC=$\sqrt{{O}_{2}{A}^{2}-{O}_{2}{C}^{2}}$=6$\sqrt{6}$（cm），
BC=$\sqrt{{O}_{2}{B}^{2}-{O}_{2}{C}^{2}}$=$\sqrt{7}$（cm），
∵AC•BC=HC•CO₂，
∴HC=$\frac{6\sqrt{6}×\sqrt{7}}{3}$=2$\sqrt{42}$（cm），
O₁J=KB-CB=$\frac{1}{2}$（6$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$）-$\sqrt{7}$=（3$\sqrt{6}$-$\frac{\sqrt{7}}{2}$）cm，
JO₂=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{42}$+3）=（$\sqrt{42}$+$\frac{3}{2}$）cm，
∴O₁O₂=$\sqrt{{O}_{1}{J}^{2}+{O}_{2}{J}^{2}}$=10（cm），
故⊙O₁的半徑為10cm．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理以及相交弦定理、勾股定理等知識(shí)，正確得出HC的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．