Question

4．矩形ABCD中，AB=3，BC=5．E位CD邊上一點，將矩形沿直線BE折疊．
（1）使點C落在AD邊上，求DE的長．
（2）使點C落在線段BD上C′處，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）由折疊可得BC′=BC=5，EC′=EC，根據(jù)勾股定理求出AC′，即可求出C′D，設(shè)DE=x，則C′E=CE=3-x，然后在Rt△C′DE中運用勾股定理，就可解決問題；
（2）可根據(jù)勾股定理求出BD，由折疊可得BC′=BC=5，EC′=EC，∠BC′E=∠C=90°，從而求出C′D，設(shè)DE=x，則C′E=CE=3-x，然后在Rt△C′DE中運用勾股定理，就可解決問題．

解答 解：（1）由折疊可得BC′=BC=5，EC′=EC．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，DC=AB=3，AD=BC=5，
∴AC′=4，C′D=1．
設(shè)DE=x，則C′E=CE=3-x．
在Rt△C′DE中，
（3-x）²=x²+1²，
解得x=$\frac{4}{3}$，
∴DE的長為$\frac{4}{3}$；
（2）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，DC=AB=3，AD=BC=5，
∴BD=$\sqrt{{3}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{34}$．
由折疊可得BC′=BC=5，EC′=EC，∠BC′E=∠C=90°，
∴C′D=$\sqrt{34}$-5，∠DC′E=90°
設(shè)DE=x，則C′E=CE=3-x．
在Rt△C′DE中，
x²=（3-x）²+（$\sqrt{34}$-5）²，
解得x=$\frac{34-5\sqrt{34}}{3}$，
∴DE的長為$\frac{34-5\sqrt{34}}{3}$．

點評 本題主要考查了矩形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、勾股定理等知識，關(guān)于矩形的折疊問題，通常是轉(zhuǎn)化到一個直角三角形中，運用勾股定理來解決．