Question

10．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．
（1）利用尺規(guī)，以AB為直徑作⊙O，交BC于點D；（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）所作的圖形中，求證：AC²=CD•CB．

Answer 1

分析 （1）作AB的垂直平分線得到AB的中點O，然后以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓交BC于D；
（2）先利用圓周角定理得到∠ADB=∠CAB，則可判斷△CAD∽△CBA，然后利用相似比得到CA：CB=CD：CA，再根據(jù)比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 （1）解：如圖，

（2）證明：連接AD，如圖，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠CAB，
∵∠C=∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴CA：CB=CD：CA，
∴AC²=CD•CB．

點評 本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．利用相似比是解決（2）小題的關(guān)鍵．