Question

15．（1）如圖1所示，平行四邊形紙片ABCD中，AD=5，S_?ABCD=15，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，沿AE剪下△ABE，將它平移至△DCE′的位置，拼成四邊形AEE′D，則四邊形AEE′D是矩形．
（2）如圖2所示，在（1）中的四邊形紙片AEE′D中，在EE′上取一點(diǎn)F，使EF=4，剪下△AEF，將它平移至△DE′F′的位置，拼成四邊形AFF′D．
①求證：四邊形AFF′D是菱形；
②求四邊形AFF′D兩條對(duì)角線的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的判定，可得答案；
（2）①根據(jù)菱形的判定，可得答案；
②根據(jù)勾股定理，可得答案．

解答 解：（1）紙片?ABCD中，AD=5，S_?ABCD=15，
過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，沿AE剪下△ABE，將它平移至△DCE′的位置，拼成四邊形AEE′D，
則四邊形AEE′D的形狀為矩形，
故答案為：矩；

（2）①證明：∵紙片?ABCD中，AD=5，S_?ABCD=15，
過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，
∴AE=3．
如圖2：
∵△AEF，將它平移至△DE′F′，
∴AF∥DF′，AF=DF′，
∴四邊形AFF′D是平行四邊形．
在Rt△AEF中，由勾股定理，得
AF=$\sqrt{A{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴AF=AD=5，
∴四邊形AFF′D是菱形；
②連接AF′，DF，如圖3：
在Rt△DE′F中E′F=FF′-E′F′=5-4=1，DE′=3，
∴DF=$\sqrt{E′{D}^{2}+E′F{′}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
在Rt△AEF′中EF′=EF+FF′=4+5=9，AE=3，
∴AF′=$\sqrt{A{E}^{2}+F′{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{9}^{2}}$=3$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題目，考查了平行四邊形的性質(zhì)、圖形的剪拼、矩形的判定，菱形的判定，勾股定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．