Question

關(guān)于x的分式方程2k-4+

k+1

x

=

k-5

x+2

僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值共有（　　）

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：分式方程的解

專題：

分析：先將原方程去分母，兩邊都乘x（x+2），整理得到（k-2）x²+（2k-1）x+k+1=0．再分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)k-2≠0時(shí)，由于△=（2k-1）²-4（k-2）（k+1）=9＞0，得出（k-2）x²+（2k-1）x+k+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．由原方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，得出（k-2）x²+（2k-1）x+k+1=0有一個(gè)根為0或-2，進(jìn)而求出k=-1或5；②當(dāng)k-2=0，即k=2時(shí)，方程為3x+3=0，解得x=-1，符合題意．

解答：解：方程兩邊都乘x（x+2）得，（2k-4）x（x+2）+（k+1）（x+2）=x（k-5），
整理得，（k-2）x²+（2k-1）x+k+1=0．
①當(dāng)k-2≠0時(shí)，∵△=（2k-1）²-4（k-2）（k+1）=9＞0，
∴一元二次方程（k-2）x²+（2k-1）x+k+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
∵關(guān)于x的分式方程2k-4+

k+1

x

=

k-5

x+2

僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
而x（x+2）=0時(shí)，x=0或-2，
∴x=0時(shí)，k+1=0，k=-1，此時(shí)方程-3x²-3x=0的根為x=0或-1，
其中x=0是原方程的增根，x=-1是原方程的根，符合題意；
x=-2時(shí)，4（k-2）-2（2k-1）+k+1=0，k=5，此時(shí)方程3x²+9x+6=0的根為x=-2或-1，
其中x=-2是原方程的增根，x=-1是原方程的根，符合題意；
即k=-1或5；
②當(dāng)k-2=0，即k=2時(shí)，方程為3x+3=0，解得x=-1，符合題意；
即k=2．
綜上所述，若關(guān)于x的分式方程2k-4+

k+1

x

=

k-5

x+2

僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值為-1或5或2，共有3個(gè)．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分式方程的解，理解分式方程產(chǎn)生增根的原因是解題的關(guān)鍵．本題有一定難度．