Question

1．如圖，正方形ABCD的邊長為2，以點B為原點，BC和AB所在直線分別為x軸和y軸建立平面直角坐標系，點D在第一象限．點E是DC邊的中點，P（不與A重合）是AD邊上的一動點，設(shè)以點P為頂點的拋物線經(jīng)過點B．
（1）當拋物線經(jīng)過C時，求拋物線的解析式；
（2）在點P的運動過程中，設(shè)拋物線與x軸的另一交點為F，BF•AP的值是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論；
（3）聯(lián)結(jié)PB，PE，在點P運動時，是否存在點P滿足PB平分∠APE？若存在，求出P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，求出點P的坐標，利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）結(jié)論：BF•AP的值是變化的．如圖2中，作PH⊥BF于H．設(shè)P（m，2）．由題意可得BF•AP=2m•m=2m²，由此即可判斷．
（3）存在．如圖3中，作OH⊥PE于H，連接OE．假設(shè)OP平分∠APE，由AO⊥AP，OH⊥PE，推出OA=OH=OC，由OE=OE，OP=OP，推出Rt△OEH≌Rt△OEC，Rt△OPA≌Rt△OPH，推出PA=PH，EH=EC=1，設(shè)PA=PH=x，在Rt△PDE中，根據(jù)PE²=PD²+DE²，可得（x+1）²=（2-x）²+1²，解方程即可．

解答 解：（1）如圖1中，

當拋物線經(jīng)過C時，
∵點P是拋物線的頂點，拋物線經(jīng)過點B、C，
∴點P在線段BC的垂直平分線上，
∴PB=PC，
在Rt△PBA和Rt△PCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{PB=PC}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△PBA≌Rt△PCD，
∴PA=PD=1，
∴P（1，2）
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）²+2，把（0，0）代入得到a=-2，
∴拋物線的解析式為y=-2（x-1）²+2．

（2）結(jié)論：BF•AP的值是變化的．理由如下：
如圖2中，作PH⊥BF于H．設(shè)P（m，2）．

∵∠PAO=∠AOH=∠PHO=90°，
∴四邊形APHO是矩形，
∴PA=OH=HF=m，
∴BF=2m，PA=m，
∴BF•AP=2m•m=2m²，
∴BF•AP的值隨x的變化而變化．

（3）存在．理由如下，
如圖3中，作OH⊥PE于H，連接OE．

假設(shè)OP平分∠APE，∵AO⊥AP，OH⊥PE，
∴OA=OH=OC，∵OE=OE，OP=OP，
∴Rt△OEH≌Rt△OEC，Rt△OPA≌Rt△OPH，
∴PA=PH，EH=EC=1，設(shè)PA=PH=x，
在Rt△PDE中，∵PE²=PD²+DE²，
∴（x+1）²=（2-x）²+1²，
∴x=$\frac{2}{3}$，
∴p（$\frac{2}{3}$，2）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、正方形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會利用勾股定理構(gòu)建方程，屬于中考壓軸題．