Question

在平面直角坐標系中，O為原點，點A（-2，0），點B（0，2），點E，點F分別為OA，OB的中點．若正方形OEDF繞點O順時針旋轉，得正方形OE′D′F′，記旋轉角為α．

（Ⅰ）如圖①，當α=90°時，求AE′，BF′的長；
（Ⅱ）如圖②，當α=135°時，求證AE′=BF′，且AE′⊥BF′；
（Ⅲ）若直線AE′與直線BF′相交于點P，求點P的縱坐標的最大值（直接寫出結果即可）．

Answer 1

考點：幾何變換綜合題,三角形的外角性質,全等三角形的判定與性質,含30度角的直角三角形,勾股定理

專題：綜合題,壓軸題

分析：（1）利用勾股定理即可求出AE′，BF′的長．
（2）運用全等三角形的判定與性質、三角形的外角性質就可解決問題．
（3）首先找到使點P的縱坐標最大時點P的位置（點P與點D′重合時），然后運用勾股定理及30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識即可求出點P的縱坐標的最大值．

解答：解：（Ⅰ）當α=90°時，點E′與點F重合，如圖①．
∵點A（-2，0）點B（0，2），
∴OA=OB=2．
∵點E，點F分別為OA，OB的中點，
∴OE=OF=1
∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF繞點O順時針旋轉90°得到的，
∴OE′=OE=1，OF′=OF=1．
在Rt△AE′O中，
AE′=

OA2+OE2

=

22+12

=

5

．
在Rt△BOF′中，
BF′=

OB2+OF2

=

22+12

=

5

．
∴AE′，BF′的長都等于

5

．

（Ⅱ）當α=135°時，如圖②．
∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF繞點O順時針旋轉135°所得，
∴∠AOE′=∠BOF′=135°．
在△AOE′和△BOF′中，

AO=BO ∠AOE′=∠BOF′ OE′=OF′

，
∴△AOE′≌△BOF′（SAS）．
∴AE′=BF′，且∠OAE′=∠OBF′．
∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB，∠CAO=∠CBP，
∴∠CPB=∠AOC=90°
∴AE′⊥BF′．

（Ⅲ）∵∠BPA=∠BOA=90°，∴點P、B、A、O四點共圓，
∴當點P在劣弧OB上運動時，點P的縱坐標隨著∠PAO的增大而增大．
∵OE′=1，∴點E′在以點O為圓心，1為半徑的圓O上運動，
∴當AP與⊙O相切時，∠E′AO（即∠PAO）最大，
此時∠AE′O=90°，點D′與點P重合，點P的縱坐標達到最大．
過點P作PH⊥x軸，垂足為H，如圖③所示．
∵∠AE′O=90°，E′O=1，AO=2，
∴∠E′AO=30°，AE′=

3

．
∴AP=

3

+1．
∵∠AHP=90°，∠PAH=30°，
∴PH=

1

2

AP=

3 +1

2

．
∴點P的縱坐標的最大值為

3 +1

2

．

點評：本題是在圖形旋轉過程中，考查了全等三角形的判定與性質、勾股定理、三角形的外角性質、30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識，而找到使點P的縱坐標最大時點P的位置是解決最后一個問題的關鍵．