Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB．
（1）求∠CAD的度數(shù)；
（2）延長AC至E，使CE=AC，求證：DA=DE．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：（1）利用“直角三角形的兩個銳角互余”的性質和角平分的性質進行解答；
（2）通過證△ACD≌△ECD來推知DA=DE．

解答：（1）解：如圖，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=

1

2

∠CAB=30°，即∠CAD=30°；

（2）證明：∵∠ACD+∠ECD=180°，且∠ACD=90°，
∴∠ECD=90°，
∴∠ACD=∠ECD．
在△ACD與△ECD中，

AC=EC ∠ACD=∠ECD CD=CD

，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴DA=DE．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質．在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．