Question

2．如圖，已知線段AB=8，以A為圓心，5為半徑作⊙A，點(diǎn)C在⊙A上，過點(diǎn)C作CD∥AB交⊙A于點(diǎn)D（點(diǎn)D在點(diǎn)C右側(cè)），連結(jié)BC、AD．
（1）若CD=6，求四邊形ABCD的面積；
（2）設(shè)CD=x，BC=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）作AH⊥CD于H，如圖，根據(jù)垂徑定理得CH=DH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×6=3，再利用勾股定理計(jì)算出AH=4，然后根據(jù)梯形的面積公式求解；
（2）作CP⊥AB于P，如圖1，根據(jù)垂徑定理得CH=DH=$\frac{1}{2}$x，易得AP=CH=$\frac{1}{2}$x，則BP=AB-AP=8-$\frac{1}{2}$x，在Rt△PAC中利用勾股定理得到CP²=25-$\frac{1}{4}$x²，在Rt△BPC中根據(jù)勾股定理得到y(tǒng)²=（8-$\frac{1}{2}$x）²+25-$\frac{1}{4}$x²=89-8x，然后利用算術(shù)平方根定義即可得到y(tǒng)與x的關(guān)系．

解答 解：過點(diǎn)A作AH⊥CD于H，如圖，則CH=DH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×6=3，
在Rt△AHD中，∵AD=5，DH=3，
∴AH=$\sqrt{A{D}^{2}-D{H}^{2}}$=4，
∴四邊形ABCD的面積=$\frac{1}{2}$（CD+AB）•AH=$\frac{1}{2}$×（6+8）×4=28；

（2）作點(diǎn)C作CP⊥AB于P，如圖，
∵AH⊥CD，CD=x，
∴CH=DH=$\frac{1}{2}$x，
∴AP=CH=$\frac{1}{2}$x，
∴BP=AB-AP=8-$\frac{1}{2}$x，
在Rt△PAC中，∵AC²=AP²+CP²，
∴CP²=25-$\frac{1}{4}$x²，
在Rt△BPC中，∵BC²=BP²+CP²，
∴y²=（8-$\frac{1}{2}$x）²+25-$\frac{1}{4}$x²=89-8x，
∴y=$\sqrt{89-8x}$（0＜x＜10）；

點(diǎn)評 本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理和圓周角定理，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，運(yùn)用勾股定理進(jìn)行幾何計(jì)算．