Question

3．小明遇到這樣一個問題，如圖1，△ABC中，AB=7，AC=5，點D為BC的中點，求AD的取值范圍．

小明發(fā)現(xiàn)老師講過的“倍長中線法”可以解決這個問題，所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法，他的做法是：如圖2，延長AD到E，使DE=AD，連接BE，構(gòu)造△BED≌△CAD，經(jīng)過推理和計算使問題得到解決．
請回答：（1）小明證明△BED≌△CAD用到的判定定理是：SAS（用字母表示）
（2）AD的取值范圍是1＜AD＜6
小明還發(fā)現(xiàn)：倍長中線法最重要的一點就是延長中線一倍，完成全等三角形模型的構(gòu)造．
參考小明思考問題的方法，解決問題：
如圖3，在正方形ABCD中，E為AB邊的中點，G、F分別為AD，BC邊上的點，若AG=2，BF=4，∠GEF=90°，求GF的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)SAS即可證明△BED≌△CAD．
（2）在△ABE利用三邊關(guān)系定理即可解決．
解決問題：延長GE交CB的延長線于M．只要證明△AEG≌△BEM，推出AG=CM=2，再根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)，即可解決問題．

解答 解：（1）如圖2中，延長AD到E，使DE=AD，連接BE．

在△BED和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDE=∠ADC}\\{ED=AD}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△CAD（SAS）．

（2）∵△BED≌△CAD，
∴BE=AC=5，∵AB=7，
∴2＜AE＜12，
∴2＜2AD＜12，
∴1＜AD＜6．
故答案分別為SAS，1＜AD＜6．

解決問題：如圖3中，

解：延長GE交CB的延長線于M．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥CM，
∴∠AGE=∠M，
在△AEG和△BEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGE=∠M}\\{∠AEG=∠MEB}\\{AE=BE}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△BEM，
∴GE=EM，AG=BM=2，
∵EF⊥MG，
∴FG=FM，
∵BF=4，
∴MF=BF+BM=2+4=6，
∴GF=FM=6．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、三角形的中線、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系定理等知識，具體的關(guān)鍵性學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．