Question

由平面上一點A作⊙O的兩條切線，切點分別為B，C．D為劣弧BC上任意一點，過D作AD的垂線交∠BOD和∠DOC的角平分線于點E和點F．求證：DE=DF．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：連接FC，DC，過C作DF的平行線，與OF交于G，過F作FH∥OC，可證得△ADC∽△CGO，結(jié)合條件進一步可證得△ACO∽△AFD和△AED∽△AOB，可證得∠DAF=∠EAD，結(jié)合AD⊥EF，可證得結(jié)論．

解答：證明：連接FC，DC，過C作DF的平行線，與OF交于G，過F作FH∥OC，
∵FH∥OC，∠ACO=90°，且AD⊥DF，
∴∠DAC=∠DFH，
∵∠ACD=∠FOC，
∴△ADC∽△CGO，
∴

AC

AD

=

OC

CG

，
∴

CG

AD

=

OC

AC

，
∵OF平分∠DOC，OD=OC，CG∥DF，
∴DF=DC=CG，
∴

DF

AD

=

OC

OA

，
又∵∠ADF=∠ACO=90°，
∴△ACO∽△AFD，
∴∠OAC=∠DAF，
同理：△AED∽△AOB，
∴∠BAO=∠EAD，
∵∠BAO=∠CAO，
∴∠DAF=∠EAD，
∵AD⊥EF，
∴ED=FD．

點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)及切線的性質(zhì)，通過作平行構(gòu)造三角形相似是解題的關(guān)鍵，注意利用相似來尋找角相等是解題的常用思路．