Question

15．如圖，在△ABC中，BC=12，AB=8$\sqrt{2}$，AC=4$\sqrt{5}$，D是AB邊上的動點(diǎn)，DE∥BC交AC邊于點(diǎn)E，分別過點(diǎn)D，E作BC邊的垂線，垂足分別為，G，設(shè)AD=x．
（1）用含x的代數(shù)式表示正方形DEFG的面積；
（2）若一個矩形的一邊是另一邊的2倍，則稱這個矩形為方形．矩形DEGF能是方形嗎？若能，求其面積；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$，即$\frac{DE}{12}=\frac{x}{8\sqrt{2}}$，即可求得結(jié)論；
（2）過A作AH⊥BC于H，根據(jù)勾股定理列方程求得BH=8，AH=8，根據(jù)前述三角形的性質(zhì)得到$\frac{BD}{AB}=\frac{DF}{AH}$，求得DF=$\frac{16-\sqrt{2}x}{2}$，當(dāng)DE=2DF時，求得DE=$\frac{64}{7}$，DF=$\frac{32}{7}$，于是得到S_{正方形DFGE}=$\frac{2048}{49}$，當(dāng)DF=2DE時，即$\frac{16-\sqrt{2}x}{7}$=2×$\frac{3\sqrt{2}x}{4}$，求得DE=$\frac{24}{23}$，DF=$\frac{48}{23}$，于是得到S_{正方形DFGE}=$\frac{1052}{529}$．

解答 解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$，即$\frac{DE}{12}=\frac{x}{8\sqrt{2}}$，
解得：DE=$\frac{3\sqrt{2}x}{4}$，
∴正方形DEFG的面積=DE²=$\frac{3}{8}$x²；

（2）過A作AH⊥BC于H，
∴AB²-BH²=AC²-CH²，
即（8$\sqrt{2}$）²-BH²=（4$\sqrt{5}$）²-（12-BH）²，
∴BH=8，
∴AH=8，
∵DF∥AH，
∴△BDF∽△ABH，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{DF}{AH}$，
∴$\frac{8\sqrt{2}-x}{8\sqrt{2}}$=$\frac{DF}{8}$，
∴DF=$\frac{16-\sqrt{2}x}{2}$，
當(dāng)DE=2DF時，
即$\frac{3\sqrt{2}x}{4}$=2×$\frac{16-\sqrt{2}x}{2}$，
∴x=$\frac{32\sqrt{2}}{7}$，
∴DE=$\frac{64}{7}$，DF=$\frac{32}{7}$，
∴S_{正方形DFGE}=$\frac{2048}{49}$，
當(dāng)DF=2DE時，即$\frac{16-\sqrt{2}x}{7}$=2×$\frac{3\sqrt{2}x}{4}$，
∴x=$\frac{16\sqrt{2}}{23}$，
∴DE=$\frac{24}{23}$，DF=$\frac{48}{23}$，
∴S_{正方形DFGE}=$\frac{1052}{529}$．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及面積的計算；本題難度較大，解題的關(guān)鍵是畫出圖形，注意準(zhǔn)確作出輔助線．