Question

19．如圖，⊙O為Rt△ABC的內切圓，切點D分斜邊AB為兩段，其中AD=10，BD=3，求AC和BC的長．

Answer 1

分析 設⊙O切AC于E，切BC于F，連接OE、OF，根據(jù)切線長定理得出AD=AE=10，BD=BF=3，CF=CE，得出∠OEC=∠C=∠OFC=90°，求出OE=CE=CF=OF，
設OE=R，由勾股定理得出（R+10）²+（R+3）²=（10+3）²，求出R，即可得出答案．

解答 解：
如圖，設⊙O切AC于E，切BC于F，連接OE、OF，
∵⊙O為Rt△ABC的內切圓，AD=10，BD=3，
∴AD=AE=10，BD=BF=3，CF=CE，∠OEC=∠C=∠OFC=90°，
∴四邊形OECF是正方形，
∴OE=CE=CF=OF，
設OE=R，由勾股定理得：AC²+BC²=AB²，
則（R+10）²+（R+3）²=（10+3）²，
∴R=2，
∴AC=2+10=12，BC=2+3=5．

點評 本題考查了三角形的內切圓，正方形的性質和判定，切線長定理，勾股定理的應用，能求出內切圓的半徑是解此題的關鍵．