Question

20．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A₁，A₂，A₃，…和B₁，B₂，B₃，…分別在直線y=kx+b和x軸上，△OA₁B₁，△B₁A₂B₂，△B₂A₃B₃，…都是等腰直角三角形，如果A₁（1，1），A₂（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$），A₃（$\frac{49}{4}$，m），那么點A_n的坐標是（$（\frac{7}{2}）^{n-1}$，$\frac{1}{5}$$（\frac{7}{2}）^{n-1}$+$\frac{4}{5}$）．

Answer 1

分析 由點A₁、A₂的坐標利用待定系數(shù)法求出直線A₁A₂的解析式，由此即可得出點A₃的坐標，設(shè)點A_n的坐標是（x_n，y_n），根據(jù)x_n的數(shù)據(jù)的變化找出變化規(guī)律“x_n=$（\frac{7}{2}）^{n-1}$”，再根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可得出結(jié)論．

解答 解：將點A₁（1，1）、A₂（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{1=k+b}\\{\frac{3}{2}=\frac{7}{2}k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{5}}\\{b=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，
∴直線A₁A₂的解析式為y=$\frac{1}{5}$x+$\frac{4}{5}$．
∵點A₃（$\frac{49}{4}$，m）在直線A₁A₂上，
∴A₃（$\frac{49}{4}$，$\frac{13}{4}$）．
設(shè)點A_n的坐標是（x_n，y_n），
觀察，發(fā)現(xiàn)：x₁=1，x₂=$\frac{7}{2}$，x₃=$\frac{49}{4}$，…，
∴x_n=$（\frac{7}{2}）^{n-1}$，
∴y_n=$\frac{1}{5}$$（\frac{7}{2}）^{n-1}$+$\frac{4}{5}$，
∴點A_n的坐標為（$（\frac{7}{2}）^{n-1}$，$\frac{1}{5}$$（\frac{7}{2}）^{n-1}$+$\frac{4}{5}$）．
故答案為：（$（\frac{7}{2}）^{n-1}$，$\frac{1}{5}$$（\frac{7}{2}）^{n-1}$+$\frac{4}{5}$）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及規(guī)律型中的點的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是找出坐標的變化規(guī)律．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)坐標的變化找出變化規(guī)律是關(guān)鍵．