Question

19．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，動點P從點A開始，沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度運動，動點D從點A開始，沿邊AB向點B以每秒$\frac{5}{3}$個單位長度的速度運動，且恰好能始終保持連結(jié)兩動點的直線PD⊥AC，動點Q從點C開始，沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，連結(jié)PQ．點P，D，Q分別從點A，C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另兩個點也隨之停止運動，設運動時間為t秒（t≥0）．
（1）當t為何值時，四邊形BQPD的面積為△ABC面積的一半？
（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)題意用t表示出CQ，AP，AD的長，再根據(jù)勾股定理得出PD的長，由S_{四邊形BQPD}=S_△ABC-S_△CPQ-S_△APD即可得出t的值；
（2）根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵由題意可得：CQ=2t，AP=t，AD=$\frac{5}{3}$t，
∴BQ=8-2t，CP=6-t．
又∵PD⊥AC，
∴PD=$\sqrt{{AP}^{2}-{AD}^{2}}$=$\frac{4}{3}$t．
∵S_{四邊形BQPD}=S_△ABC-S_△CPQ-S_△APD，
∴24-（$\frac{1}{2}$×2t×（6-t）+$\frac{1}{2}$t×$\frac{4}{3}$t）=12，（t-9）²=45，解得t=9±3$\sqrt{5}$，
t=9+3$\sqrt{5}$（不合題意，舍去），
∴當t=9-3$\sqrt{5}$時，四邊形BQPD的面積為三角形ABC面積的一半；

（2）存在，t=2.4（秒）．
若四邊形BQPD為平行四邊形，則BQ與PD平行且相等，
即：$\frac{4}{3}$t=8-2t，
解得t=2.4．
答：存在t的值，使四邊形PDBQ為平行四邊形，此時t=2.4秒．

點評 本題考查的是平行四邊形的判定定理，熟知平行四邊形的對邊平行且相等是解答此題的關鍵．