Question

（1）學(xué)完全等三角形以后，老師布置了這樣一道題：如圖1，點M、N分別在等邊△ABC的BC、CA邊上，且BM=CN，AM、BN交于點Q．試說明：∠BQM=60°．
（2）小麗做完后，進(jìn)行了反思，提出了許多問題，如圖2：
①若將題中“BM=CN”與“∠BQM=60°”的位置交換，得到的是否仍是真命題？
②如圖3若將題中的點M、N分別移動到BC、CA的延長線上，是否仍能得到∠BQM=60°？
③若將題中的條件“點M、N分別在正三角形ABC的BC、CA邊上”改為“點M、N分別在正方形ABCD的BC、CD邊上”，是否仍能得到∠BQM=60°？…
請你作出判斷，在下列橫線上填寫“是”或“否”：①

 

；②

 

；③

 

．并對上述②、③選擇一個給出證明．（注意：等邊三角形每條邊都相等，每個內(nèi)角都是60°．希望每個同學(xué)都像小麗一樣愛動腦，你一定會越來越聰明哦！）

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）由三角形ABC為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到三個角相等，三條邊相等，利用SAS得到三角形ABM與三角形BCN全等，利用全等三角形的對應(yīng)角相等得到一對角相等，利用外角性質(zhì)及等量代換即可得證；
（2）①是真命題，條件與結(jié)論交換后，先利用兩對角相等的三角形相似得到三角形BMQ與三角形ABM相似，利用相似三角形的對應(yīng)角相等得到一對角相等，利用ASA得到三角形ABM與三角形BCN全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證；②是真命題，利用外角的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形ACM與三角形ABN全等，利用全等三角形的對應(yīng)角相等得到一對角相等，利用等式的性質(zhì)變形即可得證；③否真命題，利用HL得到直角三角形ABM與三角形BCN全等，利用全等三角形對應(yīng)角相等得到∠AMB=∠BNC，根據(jù)直角三角形BNC中兩銳角互余，利用等量代換及垂直的定義判斷得到∠BQM=90°．

解答：解：（1）∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
在△ABM和△BCN中，

BM=CN ∠ABM=∠BCN AB=BC

，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°；
（2）①是；②是；③否；
若選擇①，已知：∠BQM=60°，
求證：BM=CN，
證明：∵∠BQM=∠ABM=60°，∠BMQ=∠AMB，
∴△BMQ∽△AMB，
∴∠CBN=∠BAM，
在△ABM和△BCN中，

∠BAM=∠CBN AB=BC ∠ABM=∠BCN

，
∴△ABM≌△BCN（ASA），
∴BM=CN；
若選擇②，證明：如圖，
在△ACM和△BAN中，

CM=AN ∠ACM=∠BAN=120° AC=AB

，
∴△ACM≌△BAN（SAS），
∴∠AMC=∠BNA，
∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°-60°=120°，
∴∠BQM=60°；
若選擇③，證明：如圖，
在Rt△ABM和Rt△BCN中，

BM=CN AB=BC

，
∴Rt△ABM≌Rt△BCN（HL），
∴∠AMB=∠BNC，
又∵∠NBM+∠BNC=90°，
∴∠QBM+∠QMB=90°，
則∠BQM=90°．
故答案為：①是；②是；③否．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．