Question

18．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線y=2ax+6與x軸的正半軸交于點B，與y軸交于點C，拋物線y=ax²-4ax+b經(jīng)過B、C兩點，與x軸交于另一點A．
（1）如圖1，求a，b的值；
（2）如圖2，點D在第一象限內(nèi)的拋物線上，過點D作DE⊥BC于點E，作DG⊥x軸，交線段BC于點F，垂足為點G，若BE=2EF，求點D的坐標；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點P在第一象限的拋物線上，其橫坐標為2t，PQ⊥x軸于點Q，R為OQ的中點，點H在線段DF上，DH=t，點M在RH的延長線上，∠RMB=45°，射線BM交射線FD于點N，當(dāng)DN=2t時，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)坐標軸上點的特點求出點B，C坐標，將點B，C坐標代入拋物線解析式即可求出a；
（2）設(shè)出點D坐標，表示出DF，F(xiàn)G，在得出DF=$\sqrt{2}$EF，BF=$\sqrt{2}$FG，進而得到DF=2FG，用它建立方程求解即可；
（3）先判斷出∠MBT=∠RHG，在用三角函數(shù)的定義得出$\frac{NS}{BS}=\frac{RG}{HG}$，表示出NS，BS，RG，HG，即可建立方程求解即可．

解答 解（1）直線y=2ax+6與x軸的正半軸交于點B，與y軸交于點C
∴C（0，6），B（-$\frac{3}{a}$，0）
∵拋物線y=ax²-4ax+b經(jīng)過B、C兩點
∴b=0，
a×（-$\frac{3}{a}$）²-4a×（-$\frac{3}{a}$）+b=0
∴a=-$\frac{1}{2}$
（2）由（1）可知拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6，
直線BC的解析式為y=-x+6
設(shè)D（m，-$\frac{1}{2}$m²+2m+6），
∵DG⊥x軸
∴F（m，-m+6），
∴DF=-$\frac{1}{2}$m²+2m+6-（-m+6）=-$\frac{1}{2}$m²+3m，F(xiàn)G=-m+6
∵C（0，6），B（6，0）
∴OB=OC=6
∴∠OBC=∠OCB=45°
∵DG⊥x軸，DE⊥BC
∴∠DFE=∠BFG=45°
∴DF=$\sqrt{2}$EF，BF=$\sqrt{2}$FG
∵BE=2EF
∴BF=EF
∴DF=2FG
∴-$\frac{1}{2}$m²+3m=2（-m+6）
∴m=6（舍）或m=4
∴D（4，6）
（3）如圖3．

過N作NS⊥BC于點D，設(shè)RM與BC相交于點T
點P橫坐標為2t，PQ⊥x軸于點Q
∴Q（2t，0）
∵R是OQ中點，
∴R（t，0）
∵∠RMB=45°=∠HFT，∠HTF=∠BTM
∴180°-∠RMB-∠BTM=180°-∠HFT-∠HTF
∴∠MBT=∠RHG
∴tan∠MBT=tan∠RHG
∴$\frac{NS}{BS}=\frac{RG}{HG}$
∵NF=DF+DN=4+2t，F(xiàn)G=2
∴NS=SF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$NF=2$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$t，BF=2$\sqrt{2}$
∴BS=2$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$t+2$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$t
∵G（4，0），
∴RG=4-t
∵DG=6，DH=t，
∴HG=6-t
∴$\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{2}t}{4\sqrt{2}+\sqrt{2}t}=\frac{4-t}{6-t}$，
解得t=1
此時2t=2，即P點的橫坐標為2，
代入拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6的解析式中，
得，縱坐標為8，
∴P點的坐標為（2，8）．

點評 此題二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，等腰直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，解本題的關(guān)鍵是判斷出DF=2FG，用方程的思想是解決此類題目的關(guān)鍵，用三角函數(shù)建立方程是解本題的難點．