Question

5．已知二次函數(shù)y=x²+bx-4的圖象與y軸交于點(diǎn)C，與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，且tan∠ACO=$\frac{1}{4}$．請(qǐng)解答下列問題：
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）P為二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，Q為其對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，QC平分∠PQO，求Q點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)tan∠ACO的值，求出OA的值，即可判斷出A點(diǎn)的坐標(biāo)；然后把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=x²+bx-4，求出b的值，即可判斷出二次函數(shù)的解析式．
（2）首先根據(jù)Q為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-1.5，n）；然后根據(jù)∠OQC=∠CQP、∠CQP=∠OCQ，可得∠OQC=∠OCQ，所以O(shè)Q=OC，據(jù)此求出n的值，進(jìn)而判斷出Q點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）如圖1，連接AC，
，
∵二次函數(shù)y=x²+bx-4的圖象與y軸的交點(diǎn)為C，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-4），
∵tan∠ACO=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{OA}{OC}=\frac{1}{4}$，
又∵OC=4，
∴OA=1，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），
把A（1，0）代入y=x²+bx-4，
可得0=1+b-4，
解得b=3，
∴二次函數(shù)的解析式是：y=x²+3x-4．

（2）如圖2，
，
∵y=x²+3x-4，
∴拋物線的對(duì)稱軸是：x=-1.5，
∵Q為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，
∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-1.5，n），
∵拋物線的對(duì)稱軸平行于y軸，
∴∠CQP=∠OCQ，
又∵∠OQC=∠CQP，
∴∠OQC=∠OCQ，
∴OQ=OC，
∴$\sqrt{（-\frac{3}{2}）^{2}+{n}^{2}}$=4，
解得n=±$\frac{\sqrt{55}}{2}$，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)是（-1.5，$\frac{\sqrt{55}}{2}$）或（-1.5，-$\frac{\sqrt{55}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的方法，考查了學(xué)生分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問題的能力．