Question

已知拋物線C：y=-x²+bx+c經(jīng)過A（-3，0）和B（0，3）兩點，將這條拋物線的頂點記為M，它的對稱軸與x軸的交點記為N．
（1）求拋物線C的表達式；
（2）求點M的坐標；
（3）將拋物線C平移到拋物線C′，拋物線C′的頂點記為M′，它的對稱軸與x軸的交點記為N′．如果以點M、N、M′、N′為頂點的四邊形是面積為16的平行四邊形，那么應將拋物線C怎樣平移？為什么？

Answer 1

考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換,二次函數(shù)的性質,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,平行四邊形的性質

專題：壓軸題,分類討論

分析：（1）直接把A（-3，0）和B（0，3）兩點代入拋物線y=-x²+bx+c，求出b，c的值即可；
（2）根據(jù)（1）中拋物線的解析式可得出其頂點坐標；
（3）根據(jù)平行四邊形的定義，可知有四種情形符合條件，如解答圖所示．需要分類討論．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A（-3，0）和B（0，3）兩點，
∴

-9-3b+c=0 c=3

，解得

b=-2 c=3

，
故此拋物線的解析式為：y=-x²-2x+3；

（2）∵由（1）知拋物線的解析式為：y=-x²-2x+3，
∴當x=-

b

2a

=-

-2

2×(-1)

=-1時，y=4，
∴M（-1，4）．

（3）由題意，以點M、N、M′、N′為頂點的平行四邊形的邊MN的對邊只能是M′N′，
∴MN∥M′N′且MN=M′N′．
∴MN•NN′=16，
∴NN′=4．

i）當M、N、M′、N′為頂點的平行四邊形是?MNN′M′時，將拋物線C向左或向右平移4個單位可得符合條件的拋物線C′；
ii）當M、N、M′、N′為頂點的平行四邊形是?MNM′N′時，將拋物線C先向左或向右平移4個單位，再向下平移8個單位，可得符合條件的拋物線C′．
∴上述的四種平移，均可得到符合條件的拋物線C′．

點評：本題考查了拋物線的平移變換、平行四邊形的性質、待定系數(shù)法及二次函數(shù)的圖象與性質等知識點．第（3）問需要分類討論，避免漏解．