Question

如圖，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC=2，∠ABC=30°．
（1）求AB的長(zhǎng)；
（2）若C是OP的中點(diǎn)，求證：PB是⊙O的切線．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：證明題

分析：（1）連接OA、OB，根據(jù)圓周角定理得到∠AOC=2∠ABC=60°，則∠OAD=30°，所以O(shè)D=

1

2

OA=1，AD=

3

OD=

3

，再根據(jù)垂徑定理得AD=BD，所以AB=2

3

；
（2）由（1）∠BOC=60°，則△OCB為等邊三角形，所以BC=OB=OC，∠OBC=∠OCB=60°，而CP=CO=CB，則∠CBP=∠P，可計(jì)算出∠CBP=30°，所以∠OBP=∠OBC+∠CBP=90°，于是根據(jù)切線的判定定理得PB是⊙O的切線．

解答：（1）解：連接OA、OB，如圖，
∵∠ABC=30°，OP⊥AB，
∴∠AOC=60°，
∴∠OAD=30°，
∴OD=

1

2

OA=

1

2

×2=1，
∴AD=

3

OD=

3

，
又∵OP⊥AB，
∴AD=BD，
∴AB=2

3

；
（2）證明：由（1）∠BOC=60°，
而OC=OB，
∴△OCB為等邊三角形，
∴BC=OB=OC，∠OBC=∠OCB=60°，
∴C是OP的中點(diǎn)，
∴CP=CO=CB，
∴∠CBP=∠P，
而∠OCB=∠CBP+∠P，
∴∠CBP=30°
∴∠OBP=∠OBC+∠CBP=90°，
∴OB⊥BP，
∴PB是⊙O的切線．

點(diǎn)評(píng)：本題考次了切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了垂徑定理、圓周角定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．