Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A（4，0），B（-2，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，4）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度沿線段BA方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)直線l從x軸出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度沿y軸方向平行移動(dòng)，直線l交AC與D，交BC于E，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，兩者都停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．△QOD的面積為S．
①寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求S=

1

2

S_△BOC時(shí)t的值；
②在點(diǎn)Q及直線l的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在t的值使∠EQD=90°？若存在，請(qǐng)求t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將已知三點(diǎn)的坐標(biāo)代入到二次函數(shù)的解析式，利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可；
（2）①根據(jù)題意，得：BQ=2t，y_E=y_D=t，S_△BDC=

1

2

BO•OC=

1

2

×2×4=4，然后求得s與t的函數(shù)關(guān)系式，從而得到有關(guān)t的方程，然后求解即可；
②若∠DQE=90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于F，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于G，利用△BGE∽△BOC表示出QG=2t-

t

2

=

3t

2

、AF=t，DF=t，QF=AB-BQ-AF=6-2t-t=6-3t，然后利用△EGQ∽△QDF列出比例式求得t值即可．

解答：解：（1）把點(diǎn)A（4，0），B（-2，0），C（0，4）代入拋物線y=ax²+bx+c得：

4a-2b+c=0 16a+4b+c=0 c=4

，
解得

a=- 1 2 b=1 c=4

∴二次函數(shù)的解析式為：y=-

1

2

x²+x+4；

（2）由題意，得：BQ=2t，y_E=y_D=t，S_△BDC=

1

2

BO•OC=

1

2

×2×4=4，
①s與t的函數(shù)關(guān)系式為

s=-t2+t(0≤t＜1) s=t2-t(1≤t≤3)

Ⅰ當(dāng)0≤t＜1時(shí)，-t²+t=2
整理得：t²-t+2=0，次方程無(wú)實(shí)數(shù)根；
Ⅱ當(dāng)1≤t≤3時(shí)，t²-t=2
解得：t=2或t=-1，
綜上，t=2；
②存在．若∠DQE=90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于F，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于G，則△BGE∽△BOC，
∴

GB

OB

=

GE

OC

，
∴BG=

OB•EG

OC

=

2t

4

=

t

2

，
∴QG=2t-

t

2

=

3t

2

．
同理可求AF=t，DF=t，QF=AB-BQ-AF=6-2t-t=6-3t，
易得△EGQ∽△QDF，
∴

EG

QF

=

QG

DF

∴

t

6-3t

=

3t 2

t

，
∴t=

18

11

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法和三角形的面積求法．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．