Question

5．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，1），并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，2），直線y=$\frac{1}{2}$x+1與拋物線交于B，D兩點(diǎn)，以BD為直徑作圓，圓心為點(diǎn)C，圓C與直線m交于對(duì)稱軸右側(cè)的點(diǎn)M（t，1），直線m上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)都等于1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）證明：圓C與x軸相切；
（3）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥m，垂足為E，再過(guò)點(diǎn)D作DF⊥m，垂足為F，求BE：MF的值．

Answer 1

分析 （1）可設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式，再結(jié)合拋物線過(guò)點(diǎn)（4，2），可求得拋物線的解析式；
（2）聯(lián)立直線和拋物線解析式可求得B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，則可求得C點(diǎn)坐標(biāo)和線段BD的長(zhǎng)，可求得圓的半徑，可證得結(jié)論；
（3）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥m于點(diǎn)H，連接CM，可求得MH，利用（2）中所求B、D的坐標(biāo)可求得FH，則可求得MF和BE的長(zhǎng)，可求得其比值．

解答 解：
（1）∵已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，1），
∴可設(shè)拋物線解析式為y=a（x-2）²+1，
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，2），
∴2=a（4-2）²+1，解得a=$\frac{1}{4}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{4}$（x-2）²+1=$\frac{1}{4}$x²-x+2；
（2）聯(lián)立直線和拋物線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}{x}^{2}-x+2}\\{y=\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\sqrt{5}}\\{y=\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\sqrt{5}}\\{y=\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$，
∴B（3-$\sqrt{5}$，$\frac{5}{2}$-$\frac{\sqrt{5}}{2}$），D（3+$\sqrt{5}$，$\frac{5}{2}$+$\frac{\sqrt{5}}{2}$），
∵C為BD的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為$\frac{\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∵BD=$\sqrt{[（3-\sqrt{5）}-（3+\sqrt{5}）]^{2}+[（\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}）-（\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}）]^{2}}$=5，
∴圓的半徑為$\frac{5}{2}$，
∴點(diǎn)C到x軸的距離等于圓的半徑，
∴圓C與x軸相切；

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥m，垂足為H，連接CM，

由（2）可知CM=$\frac{5}{2}$，CH=$\frac{5}{2}$-1=$\frac{3}{2}$，
在Rt△CMH中，由勾股定理可求得MH=2，
∵HF=$\frac{3+\sqrt{5}-（3-\sqrt{5}）}{2}$=$\sqrt{5}$，
∴MF=HF-MH=$\sqrt{5}$-2，
∵BE=$\frac{5}{2}$-$\frac{\sqrt{5}}{2}$-1=$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴$\frac{BE}{MF}$=$\frac{\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{5}-2}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、切線的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)．在（1）中注意利用拋物線的頂點(diǎn)式，在（2）中求得B、D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（3）中求得BE、MF的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，計(jì)算量較大，難度較大．