Question

14．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作圓O，分別交BC于點D，交CA的延長線于點E，過點D作DH⊥AC于點H，連接DE交線段OA于點F．
（1）求證：DH是圓O的切線；
（2）若A為EH的中點，求$\frac{EF}{FD}$的值；
（3）若EA=EF=1，求圓O的半徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同圓的半徑相等和等邊對等角證明：∠ODB=∠OBD=∠ACB，則DH⊥OD，DH是圓O的切線；
（2）如圖2，先證明∠E=∠B=∠C，則H是EC的中點，設(shè)AE=x，EC=4x，則AC=3x，由OD是△ABC的中位線，得：OD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3x}{2}$，證明△AEF∽△ODF，列比例式可得結(jié)論；
（3）如圖2，設(shè)⊙O的半徑為r，即OD=OB=r，證明DF=OD=r，則DE=DF+EF=r+1，BD=CD=DE=r+1，證明△BFD∽△EFA，列比例式為：$\frac{EF}{FA}=\frac{BF}{DF}$，則$\frac{1}{r-1}$=$\frac{1+r}{r}$，求出r的值即可．

解答 證明：（1）連接OD，如圖1，
∵OB=OD，
∴△ODB是等腰三角形，
∠OBD=∠ODB①，
在△ABC中，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB②，
由①②得：∠ODB=∠OBD=∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴DH⊥OD，
∴DH是圓O的切線；

（2）如圖2，在⊙O中，∵∠E=∠B，
∴由（1）可知：∠E=∠B=∠C，
∴△EDC是等腰三角形，
∵DH⊥AC，且點A是EH中點，
設(shè)AE=x，EC=4x，則AC=3x，
連接AD，則在⊙O中，∠ADB=90°，AD⊥BD，
∵AB=AC，
∴D是BC的中點，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC，OD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×3x=$\frac{3x}{2}$，
∵OD∥AC，
∴∠E=∠ODF，
在△AEF和△ODF中，
∵∠E=∠ODF，∠OFD=∠AFE，
∴△AEF∽△ODF，
∴$\frac{EF}{FD}=\frac{AE}{OD}$，
∴$\frac{AE}{OD}$=$\frac{x}{\frac{3}{2}x}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{EF}{FD}$=$\frac{2}{3}$；

（3）如圖2，設(shè)⊙O的半徑為r，即OD=OB=r，
∵EF=EA，
∴∠EFA=∠EAF，
∵OD∥EC，
∴∠FOD=∠EAF，
則∠FOD=∠EAF=∠EFA=∠OFD，
∴DF=OD=r，
∴DE=DF+EF=r+1，
∴BD=CD=DE=r+1，
在⊙O中，∵∠BDE=∠EAB，
∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE，
∴BF=BD，△BDF是等腰三角形，
∴BF=BD=r+1，
∴AF=AB-BF=2OB-BF=2r-（1+r）=r-1，
在△BFD和△EFA中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BFD=∠EFA}\\{∠B=∠E}\end{array}\right.$，
∴△BFD∽△EFA，
∴$\frac{EF}{FA}=\frac{BF}{DF}$，
∴$\frac{1}{r-1}$=$\frac{1+r}{r}$，
解得：r₁=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，r₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（舍），
綜上所述，⊙O的半徑為$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題是圓的綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、切線的性質(zhì)和判定、三角形的中位線、三角形相似的性質(zhì)和判定、圓周角定理，第三問設(shè)圓的半徑為r，根據(jù)等邊對等角表示其它邊長，利用比例列方程解決問題．